一般说来，数学和艺术是两种非常不同的领域——前者致力于抽象思维，后者致力于感觉。但有时你会发现，这二者之间有着不可思议的相似之处。
从伊斯兰的瓷砖到杰克逊·波洛克（Jackson Pollock，抽象主义绘画大师）绘制的混乱图形，我们可以看到艺术与随之而来的数学研究之间有着怎样惊人的相似性。尽管这两种思维方式并不完全相同，但有趣的是，其中一种往往预示着另外一种。
艺术有时能促进数学发现吗？这是一个没有简单答案的问题，但在某些情况下，这似乎是很有可能的。
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阿尔罕布拉宫的图案
以在西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉发现的伊斯兰装饰为例。
在 14 和 15 世纪，阿尔罕布拉宫是柏柏尔君主的宫殿和后宫。对许多游客来说，这里是世界上最接近天堂的地方：它有着一系列带有喷泉的露天庭院，周围是能提供遮蔽和阴凉的拱廊。天花板被浇筑成像钟乳石一样的精致几何图案。最耀眼的是周围墙壁上的彩色瓷砖装饰，让人眼花缭乱，带来一种奇妙的喜悦感。就像音乐一样，这些图案能旁观者体验到一种近乎灵魂出窍的状态，一种置身天堂般的狂喜。
阿尔罕布拉的瓷砖拼图。 图片来源：Wikipedia Commons
这是艺术和数学推理的胜利。这个装饰物探索了数学的一个分支——密铺，它指的是用规则的几何图案完全填充一个空间。数学表明，一个平面可以被具有三、四和六条边的对称图形规律覆盖，但不能被对称的五边形以这种形式覆盖。
不过如果用三角形、正方形和六角形来组合成不同的形状，也可以做到对整个空间的填充。阿尔罕布拉宫陶醉于这种精心设计的组合，这是一类很难被视为静止而不是动态的图案。它们似乎会在我们眼前旋转，刺激我们的大脑行为，当我们看到它们的时候，我们会以不同的结构来重置它们的图案。
这是一种情感体验吗？正是这样。但是，这种伊斯兰镶嵌图案的迷人之处就在于，这些通过无数能工巧匠打造的艺术作品显示出了他们对数学逻辑的近乎完美的掌握。
数学家已经确定了 17 种对称性，如左右对称、旋转对称等等。在阿尔罕布拉宫的镶嵌图案作品中至少出现了 16 种对称。
17 种平面对称群。
这些图案不仅漂亮，而且在数学上也很严谨。他们以一种惊人的完整方式探索了对称的基本特征。然而，直到这些对称的图形在阿尔罕布拉宫中安放了几个世纪之后，数学家才提出了他们对对称原理的分析。
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准晶体图案镶嵌
尽管阿尔罕布拉宫的装饰令人惊叹，但波斯的一样杰作或许可以超越它。1453 年，在伊斯法罕的达尔比伊玛目神殿，一些无名工匠发现了准晶体结构。这些图案具有复杂而神秘的数学性质，但直到 20 世纪 70 年代出现彭罗斯瓷砖，数学家们才开始对这些性质进行分析。
彭罗斯瓷砖是一种用规则的形状以完全不会自我重复的结构对整个空间进行填充的镶嵌图样。上世纪 80 年代，丹·谢赫特曼（Daniel Schectman）发现这种不同寻常的图样也存在于晶体结构中。基于这项发现，谢赫特曼为准晶体的研究作出了杰出贡献，并在 2011 年因此获得了诺贝尔奖（详见：《永不重复的图案》）。这一突破迫使科学家重新考虑他们对物质本质的概念。
Dan Schechtman 从一种金属合金中得到的电子衍射图显示出具有十重旋转对称性的图样。 图片来源：Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)
2005 年，哈佛大学物理学家Peter James Lu展示了使用吉里赫瓷砖可以相对容易地产生这种准晶体图案的可能性。吉里赫瓷砖将几种纯粹的几何形状组合成五种图案：一个正十边形、一个不规则六边形、一个蝴蝶领结、一个菱形和一个正五边形。
激光切割的吉里赫瓷砖。 图片来源：38462165@N05/flickr
无论使用的方法什么，很显然，达尔比伊阿訇的准晶体图案是由没受过高等数学训练的工匠创造的。而数学家花了几个世纪的时间来分析和阐明这些图案。换句话说，直觉走在了充分理解的前头。
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透视和非欧几里德数学
几何透视在意大利文艺复兴时期引发了一场艺术革命，它使得以一种逼真且准确的方法来描绘可见的世界成为可能。有人可能会说，透视法还导致了人们对数学基本定律的进行重大的重新审视。
这条轨道实际上从未相交，但随着它们向地平线靠近，似乎它们会在一个遥远的“消失点”上汇合。 图片来源：royluck / flickr
根据欧几里得数学，两条平行线将永远保持平行，永不相交。然而，在文艺复兴时期的透视法中，平行线最终会在遥远的“消失点”上相交。换句话说，文艺复兴时期的透视法呈现的是一种遵循常规数学规律的几何，而不是欧几里德几何。
当数学家在 19 世纪初首次构想出非欧几里得数学时，他们设想了一个平行线会在无限远处相交的世界。他们探索的几何学在很多方面与文艺复兴时期的透视法相似。
从那以后，非欧几里得数学开始探索 12、13 维的空间，这远远超出了文艺复兴时期的透视法。但值得思考的是，文艺复兴时期的艺术是否让最初的这步飞跃变得更加容易了？
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波洛克的混乱绘画
一个打破了传统界限，与近代的数学发展有相似之处的有趣的现代艺术例子是画家杰克逊·波洛克的作品。
对那些第一次看到波洛克的作品的人来说，这些画作显得杂乱无章，毫无意义。然而，随着时间的推移，我们逐渐发现作品中的有序元素，尽管不是传统意义上的那种。它们的形状既可预测又不可预测，就像水龙头的滴水模式一样，你无法预测下一次水滴的确切效果；但如果你绘制水滴的模式，会发现它们落在一个有着清晰的形状和边界的区域内。
波洛克的作品：《灰的彩虹》。 图片来源：ancientartpodcast/flickr
这种不可预测性曾在数学家研究的范围之外，但近年来，它已成为数学研究中最热门的领域之一。例如，混沌理论探索的就是那些不能被预测，但又落在一定的可定义可能范围内的模式；而分形分析研究的是一类具有相似性但却不完全相同的形状。
波洛克本人对数学并没有什么特别的兴趣，在这方面的才能也非常有限。他对这些图案的迷恋是凭直觉且主观的。
有趣的是，数学家还不能准确地描述波洛克在画中所做的事情。例如，有人尝试用分形分析来创建一个波洛克风格的数字“签名”，但到目前为止，这种方法还没有奏效——我们无法从数学上区分波洛克的签名作品和拙劣的模仿作品。即便波洛克使用了分形的概念，也可能是不正确的。
尽管如此，波洛克的既混乱又有序的模式为数学提供了一个富有成果的方向。在某种程度上，用数学工具很有可能可以描述波洛克做了什么，而艺术家们将不得不继续前进，划出一个可以探索的新领域。