一篇较全面的关于范数的解释

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作者:魏通
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以下分别列举常用的向量范数和矩阵范数的定义。

  • 向量范数

1-范数:

||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数:

||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2},Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方,matlab调用函数norm(x, 2)。

\infty-范数:||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|,即所有向量元素绝对值中的最大值,matlab调用函数norm(x, inf)。

 

-\infty-范数:||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|

,即所有向量元素绝对值中的最小值,matlab调用函数norm(x, -inf)。

 

p-范数:||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}
,即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂,matlab调用函数norm(x, p)。

 

  • 矩阵范数

1-范数:||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|
, 列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1)。

 

2-范数:||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}\lambda<br/>A^TA的最大特征值。

,谱范数,即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
 

\infty-范数:||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|

,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf)。

 

F-范数:||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}

,Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

 

核范数:||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i是A的奇异值

即奇异值之和。

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风君子

独自遨游何稽首 揭天掀地慰生平

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