蔡勒公式的推导过程

星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六 


天时间创世纪,第七天休息,所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 


活,而星期日是休息日。从实际的角度来讲,以七天为一个周期,长短也比较合适。所 


以尽管中国的传统工作周期是十天(比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”,即是 


指官员的工作每十日为一个周期,第十日休假),但后来也采取了西方的星期制度。 

  在日常生活中,我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候,我们还想知 


道历史上某一天是星期几。通常,解决这个方法的有效办法是看日历,但是我们总不会 


随时随身带着日历,更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 


计算某一天是星期几,预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 


过什么公式,从年月日推出这一天是星期几呢? 

  答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如,知道 


了2004年5月1日是星期六,那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出 


来。我们可以掰着指头从1日数到31日,同时数星期,最后可以数出5月31日是星期一。 


其实运用数学计算,可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的,所以5月1日是星 


期六,七天之后的5月8日也是星期六。在日期上,8-1=7,正是7的倍数。同样,5月15 


日、5月22日和5月29日也是星期六,它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28,也 


都是7的倍数。那么5月31日呢?31-1=30,虽然不是7的倍数,但是31除以7,余数为2, 


这就是说,5月31日的星期,是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。 

  这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路:首先,先要知道在想算的日子 


之前的一个确定的日子是星期几,拿这一天做为推算的标准,也就是相当于一个计算的 


“原点”。其次,知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天,用7除这个日期 


的差值,余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是 


0,就表示这两天的星期相同。显然,如果把这个作为“原点”的日子选为星期日,那 


么余数正好就等于星期几,这样计算就更方便了。 

  但是直接计算两天之间的天数,还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月 


1日之间相隔7947天,就不是一下子能算出来的。它包括三段时间:一,1982年7月29 


日以后这一年的剩余天数;二,1983-2003这二十一个整年的全部天数;三,从2004年 


元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算,它等于21*365+5=7670天,之所以要加 


5,是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了,比如第三段,需要把 


5月之前的四个月的天数累加起来,再加上日期值,即31+29+31+30+1=122天。同理,第 


一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来,再加上7月剩下的天数,一共是155天。 


所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。 

  仔细想想,如果把“原点”日子的日期选为12月31日,那么第一段时间也就是一个 


整年,这样一来,第一段时间和第二段时间就可以合并计算,整年的总数正好相当于两 


个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文 


学家所使用的公元0年12月31日),这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这 


样简化之后,就只须计算两段时间:一,这么多整年的总天数;二,想算的日子是这一 


年的第几天。巧的是,按照公历的年月设置,这样反推回去,公元前1年12月31日正好是 


星期日,也就是说,这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 


只有一个:这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。 

  我们知道,公历的平年是365天,闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在 


2月加一天,但能被100整除的不闰,能被400整除的又闰。因此,像1600、2000、2400 


年都是闰年,而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年,按公历也是闰年。 

  因此,对于从公元前1年(或公元0年)12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年 


中的闰年数,就等于 

[(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400], 

[…]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数,第二项表示需要去掉 


被100整除的年份数,第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一,这 


样,我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式: 

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D.               (1) 

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年(或公元0年)12月 


31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除,余数是几,这一天就是星期几。比如我们来 


算2004年5月1日: 

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] – [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + 


    (31+29+31+30+1) 


   = 731702, 

731702 / 7 = 104528……6,余数为六,说明这一天是星期六。这和事实是符合的。 

  上面的公式(1)虽然很准确,但是计算出来的数字太大了,使用起来很不方便。仔 


细想想,其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是 


不是可以简化这个W值,只要找一个和它余数相同的较小的数来代替,用数论上的术语 


来说,就是找一个和它同余的较小的正整数,照样可以计算出准确的星期数。 

  显然,W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实, 

(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) 


           = (Y-1) * (7*52+1) 


           = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1), 

这个结果的第一项是一个7的倍数,除以7余数为0,因此(Y-1)*365除以7的余数其实就 


等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为: 

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7). 

其中,≡是数论中表示同余的符号,mod 7的意思是指在用7作模数(也就是除数)的情 


况下≡号两边的数是同余的。因此,完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365,这样我们就得到 


了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式: 

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D.                   (2) 

  这个公式虽然好用多了,但还不是最好用的公式,因为累积天数D的计算也比较麻 


烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢?答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各 


个月的日数,列表如下: 

月  份:1月 2月  3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 


————————————————————————– 


天  数: 31   28(29)   31    30    31    30    31    31    30    31     30     31 

如果把这个天数都减去28(=4*7),不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 


表: 

月  份:1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 


———————————————————————— 


剩余天数: 3    0(1)   3     2     3     2     3     3     2     3      2      3 


平年累积: 3    3      6     8    11    13    16    19    21    24     26     29 


闰年累积: 3    4      7     9    12    14    17    20    22    25     27     30 

仔细观察的话,我们会发现除去1月和2月,3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2, 


3;8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3,正好是一个重复。相应的累积天数中, 


后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的 


存在,平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达: 

     ╭ d;                 (当M=1) 


D = {   31 + d;                   (当M=2)           (3) 


     ╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] – 7 + (M-1) * 28 + d + i.  (当M≥3) 

其中[…]仍表示只取整数部分;M和d分别是想算的日子的月份和日数;平年i=0,闰年 


i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下:[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的 


平年累积值,再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一 


个很巧妙的办法,利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如,对2004年5月1日,有: 

D = [ 13 * (5+1) / 5 ] – 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 


   = 122, 

这正是5月1日在2004年的累积天数。 

  假如,我们再变通一下,把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”,不仅仍 


然符合这个公式,而且因为这样一来,闰日成了上一“年”(一共有14个月)的最后一 


天,成了d的一部分,于是平闰年的影响也去掉了,公式就简化成: 

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] – 7 + (M-1) * 28 + d.         (3≤M≤14)         (4) 

上面计算星期几的公式,也就可以进一步简化成: 

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] – 7 


    + (M-1) * 28 + d. 

因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除,所以去掉这两项,W除以7的余数不变, 


公式变成: 

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d. 


                                    (5) 

当然,要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月,因此在计算1月和2月的日子 


的星期时,除了M要按13或14算,年份Y也要减一。比如,2004年1月1日是星期四,用这 


个公式来算,有: 

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] – [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] 


    + 1 


   = 2002 + 500 – 20 + 5 + 36 + 1 


   = 2524; 


2524 / 7 = 360……4.这和实际是一致的。 

  公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了,但它还不是最简练的,对于年 


份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期,列 


表如下: 

年份:   1(401,801,…,2001)                    101(501,901,…,2101) 


——————————————————————– 


星期: 4                                       2 


==================================================================== 


年份:201(601,1001,…,2201)                   301(701,1101,…,2301) 


——————————————————————– 


星期:   0                                       5 

可以看出,每隔四个世纪,这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301) 


年3月1日的星期数看成是-2(按数论中对余数的定义,-2和5除以7的余数相同,所以可 


以做这样的变换),那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此,我们 


可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式: 

W = (4 – C mod 4) * 2 – 4.                                               (6) 

式中,C是该世纪的世纪数减一,mod表示取模运算,即求余数。比如,对于2001年3月 


1日,C=20,则: 

W = (4 – 20 mod 4) * 2 – 4 


   = 8 – 4 


   = 4. 

  把公式(6)代入公式(5),经过变换,可得: 

(Y-1) + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 – C mod 4) * 2 – 1 


(mod 7).                                                                (7) 

因此,公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] – [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项,在计算 


每个世纪第一年的日期的星期时,可以用(4 – C mod 4) * 2 – 1来代替。这个公式写 


出来就是: 

W = (4 – C mod 4) * 2 – 1 + [13 * (M+1) / 5] + d.                        (8) 

有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式,计算这个世纪其他各年的日期星期的公式 


就很容易得到了。因为在一个世纪里,末尾为00的年份是最后一年,因此就用不着再考 


虑“一百年不闰,四百年又闰”的规则,只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1) 


简化为公式(2)的方法,我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意 


一天是星期几的公式: 

W = (4 – C mod 4) * 2 – 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d.        (9) 

式中,y是年份的后两位数字。 

  如果再考虑到取模运算不是四则运算,我们还可以把(4 – C mod 4) * 2进一步改写 


成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系: 

4q + r = C, 

其中r即是 C mod 4,因此,有: 

r = C – 4q 


   = C – 4 * [C/4].                                                      (10) 

则 

(4 – C mod 4) * 2 = (4 – C + 4 * [C/4]) * 2 


                   = 8 – 2C + 8 * [C/4] 


                   ≡ [C/4] – 2C + 1 (mod 7).                            (11) 

把式(11)代入(9),得到: 

W = [C/4] – 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d – 1.                  (12) 

这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W,再除以7,得到的余数是 


几就表示这一天是星期几,唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月, 


C和y都按上一年的年份取值。因此,人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的 


公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒(Christian Zeller, 1822- 


1899)在1886年推导出的,因此通称为蔡勒公式(Zeller’s Formula)。为方便口算, 


式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。 

  现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期,显然C=20,y=4,M=5,d=1,代入蔡勒 


公式,有: 

W = [20/4] – 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 – 1 


   = -15. 

注意负数不能按习惯的余数的概念求余数,只能按数论中的余数的定义求余。为了方便 


计算,我们可以给它加上一个7的整数倍,使它变为一个正数,比如加上70,得到55。 


再除以7,余6,说明这一天是星期六。这和实际是一致的,也和公式(2)计算所得的结 


果一致。 

  最后需要说明的是,上面的公式都是基于公历(格里高利历)的置闰规则来考虑 


的。对于儒略历,蔡勒也推出了相应的公式是: 

W = 5 – C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d – 1.                       (13) 

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风君子

独自遨游何稽首 揭天掀地慰生平

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