复分析可视化方法笔记

• 3 莫比乌斯变换和反演
• • 3.5 莫比乌斯变换
  • • 3.5.2 系数的非唯一性
    • 3.5.4 不动点
    • 3.5.5 无穷远处的不动点

3 莫比乌斯变换和反演

3.5 莫比乌斯变换

3.5.2 系数的非唯一性

存在唯一的默比乌斯变换,把任意3点变为任意3个其他点.

3.5.4 不动点

一个默比乌斯变换除非是恒等映射,最多有两个不动点.
由以上结果可知,若已知一莫比乌斯变换有多于两个不动点,则它必是恒等映射.
将不动点写出来,若$M(z)$已经规范化,则下式
ξ±=(a−d)±(a+d)2−42c\xi_\pm = \frac{(a-d) \pm \sqrt{(a+d)^2 – 4}}{2c}ξ±​=2c(a−d)±(a+d)2−4​​
给出了它的两个不动点ξ+\xi_+ξ+​与ξ−\xi_-ξ−​,在$(a+d)=\pm 2$的例外情况下,两个不动点ξ±\xi_\pmξ±​重合为一个不动点$\xi =(a-d)/2c$,这时的莫比乌斯变换称为抛物型的.

3.5.5 无穷远处的不动点

$c\ne 0$时,则两个不动点都在有限平面上;当$c=0$时,至少有一个不动点在无穷远处.
若$c=0$,则莫比乌斯变换形如$M(z)=Az+B$,表示复平面的"保向"(即"共形")相似变换.若记A=ρeiαA = \rho e^{i\alpha}A=ρeiα,则该变换可看作时由一个以原点为中心的旋转$\alpha$,一个以原点为中心的伸缩$\rho$,还有一个平移$B$复合而成.

椭圆型
图3-26a为$\mathbb{C}$上的旋转z→eiαzz\rightarrow e^{i\alpha}zz→eiαz诱导出$\sum$绕其垂直的轴旋转同样的角度$\alpha$（图为$\alpha >0$的情况）.$\sum$上的水平圆周（即纬线）按箭头方向旋转成其自身，故成为此变换的不变曲线.不动点为$0$和$\infty$.该类型就是椭圆型莫比乌斯变换.

双曲型
图3-26b为$\mathbb{C}$中以原点为中心的$z\to \rho z$在$\sum$上诱导出的变换，这里$\rho >1$.不动点为$0$和$\infty$.称为双曲型莫比乌斯变换.
斜驶型
图3-26c为a和b旋转与伸缩合成的效果.称为斜驶型莫比乌斯变换.
抛物型
图3-26d为平移变换，因为在$\mathbb{C}$上不变曲线就是平行于平移方向的直线族，$\sum$上的不变曲线则是在$\infty$处有公共切线的圆周族，这个公共切线则平行于$C$中的不变曲线.$\infty$为唯一不动点.称为抛物型莫比乌斯变换.
每个莫比乌斯变换都在一定意义下等价于以上4种类型之一.