复习篇15章：量子论基础

好像我所想到的答案都是别人容易想到的，就算如此，就算对别人来说是简单的答案，但我也依然还是要努力挺过那段时间，到目前为止在我面前的那些挑战，面对那些大大小小的困难，努力去找出答案的时间从脑海中掠过，或许比起我在当下每一刻所找到的解决方案，答案，结果，能够不放弃坚持下来的那些时间，才是一直不变的唯一的答案

文章目录

• • 15.1 热辐射 普朗克能量子假设
  • • 15.1.1 热辐射
    • • <1> 单色辐射出射度（单色辐出度）
    • 15.1.2 黑体辐射
    • • <1> 举个栗子
    • 15.1.3 普朗克的能量子假设
  • 15.2 光电效应 爱因斯坦光子理论
  • • 15.2.1 光电效应
    • 15.2.2 爱因斯坦的光子理论
    • 15.2.3 光子理论解释光电效应
    • 15.2.4 光的波粒二象性
  • 15.3 康普顿效应
  • • 15.3.1 什么是康普顿效应
    • 15.3.2 实验规律
    • 15.3.3 康普顿效应的光子论解释
    • 15.3.4 Compton效应与光电效应的区别
    • • <1> 相同点
      • <2> 不同点
    • 15.3.5 举些栗子
    • • <1> 已知λ0、θ\lambda_0、\thetaλ0​、θ，求散射波长及电子动能
      • <2> 已知电子最大动能，求入射光子波长和能量
      • <3> 已知电子能量EkE_kEk​，波长改变量$\Delta \lambda$，求反冲电子的动能和动量大小
  • 15.4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论
  • • 15.4.1 H原子光谱的实验规律
    • 15.4.2 氢原子光谱的总特点
    • 15.4.3 玻尔的氢原子理论
    • 15.4.4 玻尔理论解释氢光谱规律
    • • <1> 计算氢原子轨道半径
      • <2> 计算定态能量
    • 15.4.5 举个栗子
  • 15.5 微观粒子的波粒二象性 不确定性关系
  • • 15.5.1 物质波（德布罗意波、粒子波）
    • • <1> 物质波的概念
      • <2> 物质波概念解释玻尔量子化解释
    • 15.5.2 德布罗意波的实验验证
    • • <1> 戴维孙-革末电子散射实验
      • <2> 其他实验验证
      • <3> 举个栗子
    • 15.5.3 物质波的统计解释
    • • <1> 光的双缝干涉
      • <2> 电子波的双缝干涉
      • <3> 统计解释
    • 15.5.4 不确定关系
    • • <1> 已知位置不确定量$\Delta x$，求速度不确定量
      • <2> 已知不确定量$\Delta x$，加速电压$U$，判断是否可以使用经典力学
      • <3> 已知波长$\lambda$及其不确定度$\Delta \lambda$，求位置坐标$\Delta x$的不确定量大小
    • 15.5.5 经典理论与近代理论的选择
    • • <1> 理论层面
      • <2> 实际问题

15.1 热辐射 普朗克能量子假设

15.1.1 热辐射

Def： 由温度决定的物体的电磁辐射

• 物体辐射电磁波的同时，也吸收电磁波

• 物体辐射本领越大，其吸收本领也越大

辐射和吸收达到平衡时，物体的温度不再变化，此时物体的热辐射称为平衡热辐射

<1> 单色辐射出射度（单色辐出度）

Def: 一定温度$T$下，物体单位面元在单位时间内发射的波长在$$\lambda \sim \lambda +d\lambda$$内的辐射能dMλdM_{\lambda}dMλ​与波长间隔$d\lambda$的比值：
Mλ(T)=dMλdλM_{\lambda}(T) = \frac{dM_{\lambda}}{d\lambda} Mλ​(T)=dλdMλ​​
辐出度：物体（温度$T$）单位表面在单位时间内发射的辐射能为：
M(T)=∫0∞Mλ(T)dλM(T) = \int_{0}^\infty M_{\lambda}(T)d\lambda M(T)=∫0∞​Mλ​(T)dλ
说明： 温度越高，辐出度越高；另外，辐出度还与材料性质有关

总结为：
$$温度⟶物体热辐射⟵材料性质$$

15.1.2 黑体辐射

• 绝对黑体（简称黑体）：能够全部吸收各种波长的辐射，并且不反射和透射物体
• 黑体辐射的特点：
  • $温度\to 黑体热辐射\nleftarrow 材料性质$
  • 与同温度其他物体的热辐射相比，黑体吸收本领最大，因此黑体热辐射本领最强
• 黑体单色辐出度随波长变化曲线特点
  • 曲线极大值所对应的波长称为峰值波长
  • 温度越高，峰值波长越短
  • 任意波长的单色辐出度都随着温度的升高而增大，但在波长很小和很大时，单色辐出度都趋近于零
• 黑体辐射实验规律[记住规律和公式就差不多了]
  • 斯特藩–玻尔兹曼定律：MB(T)=∫0∞MBλ(T)dλ=σT4M_{B}(T) = \int_{0}^\infty M_{B\lambda}(T)d\lambda = \sigma T^4MB​(T)=∫0∞​MBλ​(T)dλ=σT4，其中，$\sigma$在计算中会给出数值，从这个定律得到辐出度与T4T^4T4成正比
  • 维恩位移定律：Tλm=2.90∗10−6m⋅KT\lambda_{m} = 2.90*10^{-6} \quad m·KTλm​=2.90∗10−6m⋅K，可以得到峰值波长λm\lambda_{m}λm​与温度$T$成正比

<1> 举个栗子

测得太阳光谱的峰值波长在绿光区域，为λm=0.47μm\lambda_{m} = 0.47\mu mλm​=0.47μm，求出太阳的表面温度和辐出度

明确两个公式：

• MB(T)=σT4∝T4M_{B}(T) =\sigma T^{4}\propto T^{4}MB​(T)=σT4∝T4，对应于辐出度与温度的关系
• Tλm=2.90∗10−6T\lambda_{m} = 2.90*10^{-6}Tλm​=2.90∗10−6，对应于温度与峰值波长的关系
• 可以看出，MB(T)、T、λmM_{B}(T)、T 、 \lambda_{m}MB​(T)、T、λm​三个物理量的中间桥梁为$T[温度]$，即需要先求出温度

求解过程为：
Ts=2.9∗106λm=2.9∗1060.47∗10−6=6166K辐出度：MB(T)=σTs4=8.20∗107(W/m2)T_{s} = \frac{2.9*10^{6}}{\lambda_{m}} = \frac{2.9*10^{6}}{0.47*10^{-6}} = 6166K \\ 辐出度：\qquad M_{B}(T) = \sigma T^{4}_{s} = 8.20*10^{7} (W/m^{2}) Ts​=λm​2.9∗106​=0.47∗10−62.9∗106​=6166K辐出度：MB​(T)=σTs4​=8.20∗107(W/m2)

15.1.3 普朗克的能量子假设

普朗克提出：能量的取值是不连续的

• 最小的能量单元：$\epsilon =h\nu$，$\epsilon$为能量子
• 谐振子辐射和吸收的能量只能为$\epsilon$的整数倍：$\mathbf{E}=\mathbf{n}\mathbf{h}\nu ，(\mathbf{n}=1,2,3...)$
• 提出了普适常量$h$

最早认识普朗克能量子假设的意义的为爱因斯坦，他进一步发展了能量子假设，提出了光量子假设

光量子假设： 结合能量子假设定义，光是由光子组成的粒子流，光所具有的能量也是聚集成一份份在空间传播，所具有的能量也为$\epsilon =\mathbf{h}\nu$

光量子假设成功解释了光电效应

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15.2 光电效应 爱因斯坦光子理论

• 光电效应： 光找在金属表面上，电子从金属表面逸出的现象

• 逸出功：电子从金属飞出时需要克服原子核对其的吸引而做功，使电子脱离金属所作功的最小值称为该金属的逸出功

  可以看出，逸出功的大小与材料性质有关

15.2.1 光电效应

• 光的强度： 单位时间垂直通过，单位面积的光子总能量

实验规律：

• 饱和电流is∝Ii_{s} \propto Iis​∝I (入射光强度)【频率是一定的】

  实质：单位时间内从阴极发射的光电子数和入射光强成正比

• 存在截止频率υ0(红限)\upsilon_{0}(红限)υ0​(红限)与截止波长λ0\lambda_{0}λ0​

  λ0=cν0\bf\lambda_{0} = \frac{c}{\nu_{0}}λ0​=ν0​c​

• 有遏止电压U0U_{0}U0​

  注意： 光照射不变的条件下$U\downarrow ⟶i\downarrow$，而当$U=0$时，$i\ne 0$

• 最主要的公式：因为表面逸出的电子具有初动能，当电子从$K$级到$A$级加负压UaU_{a}Ua​时，电子的初动能全部消耗在克服电场力做功上，即存在能量转化的过程：12mvm2=eUa,此时i=0\frac{1}{2}mv_{m}^2=eU_{a},此时i=021​mvm2​=eUa​,此时i=0

• 即时性： 当ν>ν0\nu>\nu_{0}ν>ν0​时，无论光强多大，滞后时间都不能超过10−9s10^{-9}s10−9s

注意：

​ 通过公式12mvm2=eUa\frac{1}{2}mv_{m}^{2} = eU_{a}21​mvm2​=eUa​得，最大初动能与$I[光照强度]$，而与$\nu$有关，由此可以推出：Ua∝(Ek=12mvm2)U_{a} \propto (E_{k}=\frac{1}{2}mv_{m}^2)Ua​∝(Ek​=21​mvm2​)，即 Ua=K(ν−ν0)，Ua(初动能)∝νU_{a} = K(\nu -\nu_{0})， U_{a}(初动能)\propto\nuUa​=K(ν−ν0​)，Ua​(初动能)∝ν

由上，可以总结延伸为：

• 初动能与入射光强度$I$无关
• 当ν<ν0\nu < \nu_{0}ν<ν0​，无论$I$多大，照射时间再长，都不会产生光电效应
• 只要ν>ν0\nu > \nu_{0}ν>ν0​，无论$I$多大，光电子都能立即逸出

15.2.2 爱因斯坦的光子理论

• 光是以$c$运动的粒子流—光子流
• 每个光子具有能量$\epsilon =h\nu$，即不同$\nu$的光子具有不同的能量
• 光强$I$取决于单位时间通过垂直于光方向上单位面积的光子数$N$和单个光子的能量.$I=N\cdot h\nu$

15.2.3 光子理论解释光电效应

hν=A+12mvm2[爱因斯坦光电效应方程]h\nu = A+\frac{1}{2}mv_{m}^{2}\quad[\bf{爱因斯坦光电效应方程}] hν=A+21​mvm2​[爱因斯坦光电效应方程]

1. 饱和电流is∝Ii_{s}\propto Iis​∝I入射光强度(频率一定)

   饱和电流与光电子数$N$有关

2. 截止频率ν0(红限)\nu_{0}(红限)ν0​(红限)与截止波长λ0\lambda_{0}λ0​

   hν0=A→ν0=Ahh\nu_{0} = A \rightarrow \nu_{0}=\frac{A}{h}hν0​=A→ν0​=hA​，当ν<ν0\nu < \nu_{0}ν<ν0​ 时，不能逸出

3. 遏止电压：UaU_{a}Ua​

   能量守恒角度：hν=A+12mvm2⟶12mvm2∝ν⟶Ua∝νh\nu = A+\frac{1}{2}mv_{m}^{2}\longrightarrow\frac{1}{2}mv_{m}^{2}\propto\nu\longrightarrow U_{a}\propto\nuhν=A+21​mvm2​⟶21​mvm2​∝ν⟶Ua​∝ν,其中:Ua=K(ν−ν0)U_{a} = K(\nu-\nu_{0})Ua​=K(ν−ν0​)

4. 即时性 ：光电效应的发生是瞬时的

15.2.4 光的波粒二象性

• 波动性： 光的干涉、衍射、偏振实验
• 粒子性： 黑体辐射、光电效应等实验

光子的基本特征：

1. 能量：$\epsilon =h\nu$或ε=mc2\varepsilon = mc^{2}ε=mc2
2. 质量：m=hνc2m = \frac{h\nu}{c^2}m=c2hν​
3. 动量：p=mc=hνc=hλp=mc=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}p=mc=chν​=λh​，注意这里的速度是$c$

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15.3 康普顿效应

因为光子和物质相互作用，可能会发生不同的效应，总结为以下三种可能性

1. 可见光，能量较低，主要发生光电效应
2. X射线，中等能量，主要发生康普顿效应
3. 高能光子与原子核相互作用，形成正负电子对

15.3.1 什么是康普顿效应

• 使用： X射线，原波长为λ0\lambda_{0}λ0​

• 现象：入射到石墨上，后发出的散射光线中有波长大于入射光波长的现象

  因为散射使$\nu \downarrow$，即能量降低，而光速$c$不变，则λ↑=c→ν↓\lambda\uparrow=\frac{\overrightarrow{c}}{\nu\downarrow}λ↑=ν↓c​

出现的其他现象：

1. 出现的两种波长λ0、λ、Δλ=λ−λ0\lambda_{0}、\lambda、\Delta\lambda=\lambda-\lambda_{0}λ0​、λ、Δλ=λ−λ0​随散射角$\theta$的增大而增大
2. 同一散射角$\theta$下，所有散射物质波长的变量$\Delta \lambda$都是相同的
3. 原子量较小的物质，康普顿散射较强；而原子量较大的物质，康普顿散射较弱。

15.3.2 实验规律

1. 散射光线中有与λ0\lambda_{0}λ0​相同的射线，也有波长大于λ0\lambda_{0}λ0​的射线；即散射的波长λ≥λ0\lambda \ge \lambda_{0}λ≥λ0​
2. 波长改变量：Δλ=λ−λ0\Delta\lambda=\lambda-\lambda_{0}Δλ=λ−λ0​，随散射角$\theta$增加而增加
3. 同一$\theta$下，波长的改变量$\Delta \lambda$都是相同的
4. 物质原子量大小与康普顿效应强度呈负相关关系

总结一下：

• 康普顿效应中散射出来的波长:λ≥λ0\bf{\lambda \ge \lambda_{0}}λ≥λ0​；
• 散射角$\theta$变大，波长改变量$\Delta \lambda$变大；$\theta$不变，$\Delta \lambda$不变；
• 物质原子量大小 负相关于 康普顿效应强度

15.3.3 康普顿效应的光子论解释

​ X射线为一束以光速$c$运动的光粒子流，每个光子的能量为$h\nu$，动量为hλ\frac{h}{\lambda}λh​。X射线与散射物的相互作用能够看成是一个光子和散射物中一个自由电子弹性碰撞的过程，中间遵守能量守恒、动量守恒的规律。

推导时间到！

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整个过程遵循能量与动量守恒，注意前提：与光子发生碰撞的原子也具有能量m0c2m_{0}c^{2}m0​c2，其中m0m_{0}m0​为其原质量
{hν0+m0c2=hν+mc2能量守恒hν0c+0=hνccos⁡θ+mvcos⁡φ动量守恒hνcsin⁡θ=mvsin⁡φ方向守恒\left\{ \begin{aligned} h\nu_{0}+m_{0}c^{2} & = h\nu+mc^2 \quad \bf{能量守恒}\\ \frac{h\nu_{0}}{c}+0 & = \frac{h\nu}{c}\cos\theta+mv\cos\varphi \quad \bf{动量守恒}\\ \frac{h\nu}{c}\sin\theta & = mv\sin\varphi \quad \bf{方向守恒} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​hν0​+m0​c2chν0​​+0chν​sinθ​=hν+mc2能量守恒=chν​cosθ+mvcosφ动量守恒=mvsinφ方向守恒​
波长改变量：Δλ=λ−λ0=hm0c2sin⁡2θ2=λc(1−cos⁡θ)\Delta\lambda = \lambda-\lambda_{0} = \frac{h}{m_{0}c}2\sin^{2}\frac{\theta}{2}=\lambda_{c}(1-\cos\theta)Δλ=λ−λ0​=m0​ch​2sin22θ​=λc​(1−cosθ)

其中，λc\lambda_{c}λc​为电子的康普顿波长：λc=hm0c=0.0024nm\lambda_{c} = \frac{h}{m_{0}c} =0.0024nmλc​=m0​ch​=0.0024nm,其中，λc\lambda_{c}λc​为θ=90o\theta = 90^{o}θ=90o方向上测得的$\Delta \lambda$

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可能出现的问题：

• θ+φ=90o(?)\theta+\varphi=90^{o}(?)θ+φ=90o(?)，错×，不一定恒等于90o90^{o}90o.

• 因为电子的反冲速度比较大，需要按照相对论力学来处理，即m=m01−v2c2m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}m=1−c2v2​​m0​​

• X射线光子与原子内层电子相互作用讨论

  • ①：内层电子被紧束缚，光子相当于和整个原子发生碰撞
  • ②：因为光子质量远小于原子，碰撞时光子不损失能量，波长不变
  • 则光子与内层电子碰撞，形成波长不变的散射线；与外层电子碰撞，形成波长变大的散射线

• $\Delta \lambda$仅与$\theta$相关，与散射物及λ0\lambda_{0}λ0​无关

  Δλ=2hm0csin⁡2θ2\bf\Delta\lambda = 2\frac{h}{m_{0}c}\sin^{2}\frac{\theta}{2}Δλ=2m0​ch​sin22θ​

• 电子什么时候获得最大能量？
  hν0+m0c2=hν+mc2↓Ek=mc2−m0c2=hcλ0−hcλ=hc(1λ0−1λ0+Δλ)h\nu_{0}+m_{0}c^2 = h\nu+mc^2 \\ \downarrow \\ E_{k}=mc^2-m_{0}c^{2}=h\frac{c}{\lambda_{0}}-h\frac{c}{\lambda} = hc(\frac{1}{\lambda_{0}}-\frac{1}{\lambda_0+\Delta\lambda}) hν0​+m0​c2=hν+mc2↓Ek​=mc2−m0​c2=hλ0​c​−hλc​=hc(λ0​1​−λ0​+Δλ1​)
  又因为Δλ∝sin⁡2θ2\Delta\lambda \propto \sin^2\frac{\theta}{2}Δλ∝sin22θ​，则当Δλ=2hm0c\Delta\lambda = \frac{2h}{m_0c}Δλ=m0​c2h​最大时，此时EkE_{k}Ek​最大

• 为什么可见光观察不到Compton效应？

  可见光波长长，比如λ紫=400nm\lambda_{紫}=400nmλ紫​=400nm，此时Δλλ0=1.2∗10−5\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}=1.2*10^{-5}λ0​Δλ​=1.2∗10−5非常小，因此观察不到。

15.3.4 Compton效应与光电效应的区别

<1> 相同点

都为电磁波与物质相互作用的过程

<2> 不同点

1. 入射光子能量不同
   • 可见光波长较长，能量子$h\nu$较小，EkE_{k}Ek​取12mv2\frac{1}{2}mv^221​mv2
   • X射线波长较短，能量子$h\nu$较大，EkE_kEk​取mc2−m0c2mc^2-m_0c^2mc2−m0​c2
2. 相互作用过程不同
   • 光电效应：电子吸收一个光子能量脱离金属束缚，逸出金属表面，满足能量守恒hν=eU0+Ah\nu=eU_0+Ahν=eU0​+A
   • Compton效应：光子与电子碰撞，光子失去部分能量飞行方向偏转，满足能量、动量守恒

15.3.5 举些栗子

<1> 已知λ0、θ\lambda_0、\thetaλ0​、θ，求散射波长及电子动能

题目： 用λ0=0.1nm\lambda_0 = 0.1nmλ0​=0.1nm的光子作Compton散射实验

（1） 散射角θ=90o\theta=90^oθ=90o的康普顿散射波长等于多少？

（2） 反冲电子获得的动能等于多少？

可能存在疑惑点：

1） 光子的质量？在计算时一般以m0m_0m0​来表示，求解时记住hm0c=0.0024nm\frac{h}{m_0c}=0.0024nmm0​ch​=0.0024nm，因为散射角常为90o90^o90o

解：

$(1):$
Δλ=2∗hm0c∗sin2(90o2)=hm0c=0.0024nm则λ=λ0+Δλ=0.1024nm\Delta\lambda = 2*\frac{h}{m_0c}*sin^2(\frac{90^o}{2}) = \frac{h}{m_0c} = 0.0024nm \\ 则\quad \lambda = \lambda_0+\Delta\lambda = 0.1024nm Δλ=2∗m0​ch​∗sin2(290o​)=m0​ch​=0.0024nm则λ=λ0​+Δλ=0.1024nm

$(2):$

Ek=mc2−m0c2=hν0−hν=hcλ0−hcλλ=λ0+Δλ则Ek=hc(1λ0−1λ)=6.63⋅10−34⋅3⋅108⋅(110−10−11.024∗10−10)=4.66⋅10−17J=2.9∗102eVE_k =mc^2-m_0c^2= h\nu_0-h\nu =h\frac{c}{\lambda_0}-h\frac{c}{\lambda}\\ \lambda = \lambda_0+\Delta\lambda\\ 则 \quad E_k = hc(\frac{1}{\lambda_0}-\frac{1}{\lambda}) = 6.63·10^{-34}·3·10^{8}·(\frac{1}{10^{-10}}-\frac{1}{1.024*10^{-10}}) \\\quad\quad= 4.66·10^{-17}J = 2.9*10^{2}eV Ek​=mc2−m0​c2=hν0​−hν=hλ0​c​−hλc​λ=λ0​+Δλ则Ek​=hc(λ0​1​−λ1​)=6.63⋅10−34⋅3⋅108⋅(10−101​−1.024∗10−101​)=4.66⋅10−17J=2.9∗102eV

<2> 已知电子最大动能，求入射光子波长和能量

明确解题关键：Δλ=2⋅hm0c⋅sin2θ2\Delta\lambda = 2·\frac{h}{m_0c}·sin^2\frac{\theta}{2}Δλ=2⋅m0​ch​⋅sin22θ​

最大值在$\theta =\pi$时取得,因此遇到最大动能时先写上：Δλ=2hm0c\Delta\lambda = \frac{2h}{m_0c}Δλ=m0​c2h​

题目： 一光子与自由电子碰撞，电子可能获得的最大动能为$60KeV$,求入射光子的波长和能量
∵Δλmax=2hm0csin2π2=2hm0c且Ek=hcλ0−hcλ0+Δλ∴λ0=0.00786nmε=hν0=hcλ0=158KeV\because \quad \Delta\lambda_{max}=\frac{2h}{m_0c}sin^2{\frac{\pi}{2}}= \frac{2h}{m_0c}\\ 且 \quad E_k=h\frac{c}{\lambda_0}-h\frac{c}{\lambda_0+\Delta\lambda}\\ \therefore \quad \lambda_0 = 0.00786nm \\ \varepsilon = h\nu_0=h\frac{c}{\lambda_0}=158KeV ∵Δλmax​=m0​c2h​sin22π​=m0​c2h​且Ek​=hλ0​c​−hλ0​+Δλc​∴λ0​=0.00786nmε=hν0​=hλ0​c​=158KeV

<3> 已知电子能量EkE_kEk​，波长改变量$\Delta \lambda$，求反冲电子的动能和动量大小

解题关键：

• hν0+m0c=mc+hνh\nu_0+m_0c=mc+h\nuhν0​+m0​c=mc+hν
• m=m01−(vc)2m = \frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}m=1−(cv​)2​m0​​
• p=mv=m01−(vc)2p = mv = \frac{m_0}{\sqrt{1-{(\frac{v}{c})^{2}}}}p=mv=1−(cv​)2​m0​​，其中$v$需要通过Ek=mc2−m0c2=m0c2(11−(vc)2−1)E_k = mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}-1)Ek​=mc2−m0​c2=m0​c2(1−(cv​)2​1​−1)来求

题目： 已知X光光子能量为$0.6MeV$，经Compton散射后波长改变了20%，求反冲电子获得的动能和动量的大小

解：

$(1)$
反冲电子获得的动能为：Ek=hc(1λ0−1λ0+Δλ)=hcλ0(1−11.2)=hν0(1−11.2)=0.1MeV反冲电子获得的动能为： E_k = hc(\frac{1}{\lambda_0}-\frac{1} {\lambda_0+\Delta\lambda}) \\ =h\frac{c}{\lambda_0}(1-\frac{1}{1.2}) \\ \qquad \quad \quad =h\nu_0(1-\frac{1}{1.2})=0.1MeV 反冲电子获得的动能为：Ek​=hc(λ0​1​−λ0​+Δλ1​)=hλ0​c​(1−1.21​)=hν0​(1−1.21​)=0.1MeV
$(2)$
反冲电子获得的动量：p=mv=m0v1−(vc)2=1.79⋅10−22由1.6⋅10−14J=Ek=mc2−m0c2=m0c2(11−(vc)2−1)求得v反冲电子获得的动量：p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=1.79·10^{-22} \\ 由\quad1.6·10^{-14}J = E_k \\\qquad\quad\quad\quad\quad\qquad\qquad\quad=mc^2-m_0c^2\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=m_0c^2(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}-1) \quad求得v 反冲电子获得的动量：p=mv=1−(cv​)2​m0​v​=1.79⋅10−22由1.6⋅10−14J=Ek​=mc2−m0​c2=m0​c2(1−(cv​)2​1​−1)求得v

15.4 氢原子光谱 玻尔的氢原子理论

光谱分类：

1. 线光谱： 由原子发出，一条谱线对应一确定的波长，不同元素的原子有自己特定的线光谱
2. 带光谱： 谱线分段密集，由分子发出
3. 连续光谱： 固体发光形成连续光谱，包含各种波长

归纳为：

光谱分类	对应物质
线光谱	原子
带光谱	分子
连续光谱	固体

15.4.1 H原子光谱的实验规律

1. 现象： 氢放电管中获得氢原子光谱–分立线状光谱，可见光范围内有四条谱线，一红，二蓝，一紫

2. 总结规律： 巴尔末的经验公式ν=1λ=RH(122−1n2)\nu = \frac{1}{\lambda} = R_H(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})ν=λ1​=RH​(221​−n21​)，当令$n=3,4,5,6$时，可以求出上述四条谱线，氢光谱的里德伯常量RH=1.097⋅107m−1R_H=1.097·10^{7}m^{-1}RH​=1.097⋅107m−1

3. 在红、紫外区的光谱线也符合上述公式

   ν=1λ=RH(1k2−1n2)(k,nϵ正整数)\nu = \frac{1}{\lambda} = R_H(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2})\quad (k, n\epsilon 正整数) ν=λ1​=RH​(k21​−n21​)(k,nϵ正整数)

   通过让$k$取定值，$n>k$得正整数，对应的谱线构成谱线系

   k = 1	n = 2, 3, …	赖曼系，紫外区	1λ=RH(112−1n2)\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2})λ1​=RH​(121​−n21​)
   k = 2	n = 3, 4, …	巴尔末系，可见光区	1λ=RH(122−1n2)\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})λ1​=RH​(221​−n21​)
   k = 3	n = 4, 5, …	帕邢系，红外区	1λ=RH(132−1n2)\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2})λ1​=RH​(321​−n21​)
   k = 4	n = 5, 6, …	布拉开系， 红外区	1λ=RH(142−1n2)\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{n^2})λ1​=RH​(421​−n21​)
   k = 5	n = 6, 7, …	普丰德系， 红外区	1λ=RH(152−1n2)\frac{1}{\lambda}=R_H(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2})λ1​=RH​(521​−n21​)

4. 里兹并合原理

   每一谱线的波数都可以表示为两项之差
   ν=1λ=RH(1k2−1n2)=T(k)−T(n)(n>k)\nu = \frac{1}{\lambda} = R_H(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2}) = T(k)-T(n)\quad (n>k) ν=λ1​=RH​(k21​−n21​)=T(k)−T(n)(n>k)

   $T(k)$或$T(n)$称为光谱项

   ---

15.4.2 氢原子光谱的总特点

• 光谱是线状分立的
• 原子是稳定的系统

15.4.3 玻尔的氢原子理论

1. 定态假设： 原子只能处在一系列具有不连续能量的状态，在这些状态上外层电子绕核做圆周运动但并不向外辐射电磁波，这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）

   这些定态的能量为E1,E2,…,EnE_1, E_2, …, E_nE1​,E2​,...,En​

2. 跃迁假设： 原子的能量变化只能在两个定态之间以跃迁的方式进行，原子从一个定态（能量EmE_mEm​）跃迁到另一定态（能量EnE_nEn​），发射或者吸收一个频率为$\nu$的光子，这个过程的频率$\nu$满足条件：
   hν=∣Em−En∣{m<n低能态→高能态⟹吸收光子m>n高能态→低能态⟹发射光子h\nu = |E_m-E_n|\quad \left\{\begin{aligned} m<n \quad 低能态\rightarrow 高能态 \Longrightarrow 吸收光子 \\ m>n \quad 高能态\rightarrow 低能态 \Longrightarrow 发射光子 \end{aligned} \right. hν=∣Em​−En​∣{m<n低能态→高能态⟹吸收光子m>n高能态→低能态⟹发射光子​

3. 轨道量子化： 在定态下外层电子绕核运动的轨道角动量值，必须是h2π\frac{h}{2\pi}2πh​的整数倍，是不连续的，有：
   L⃗=r⃗×mv⃗L=mvr=nh2π=nhˉ\vec L = \vec r \times m\vec v \\ L=mvr=n\frac{h}{2\pi} = n\bar{h} L=r×mvL=mvr=n2πh​=nhˉ
   其中，hˉ=h2π\bar{h}=\frac{h}{2\pi}hˉ=2πh​约化普朗克常数，$r$为轨道半径，$n$为量子数

15.4.4 玻尔理论解释氢光谱规律

<1> 计算氢原子轨道半径

rn=n2r1r_n = n^2r_1 rn​=n2r1​

<2> 计算定态能量

En=E1n2E_n = \frac{E_1}{n^2} En​=n2E1​​

• 当$n=1$时，基态能量E1=−13.6eVE_1=-13.6eVE1​=−13.6eV也是最低能量，对应最稳定状态，电子处在最内层轨道[关于最内层与电离联系在一起较容易理解]；当$n>1$时，处于激发态
• EnE_nEn​中的负号说明外层电子受原子核束缚，处于束缚态

根据以上规律，总结二相邻能级的间隔为：
ΔE=−13.6[1(n+1)2−1n2]\Delta E = -13.6[\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2}] ΔE=−13.6[(n+1)21​−n21​]

• 当$n⟶\infty$时，$\Delta E⟶0$，能量趋于连续；
• 电离能： 电子从基态$⟶$自由态所需要的最小能量；则电离能为$\Delta E=0-(-13.6)eV=13.6eV$，相对应的，结合能为自由电子与原子核结合为一个基态氢原子，至少需要释放$13.6eV$的能量

15.4.5 举个栗子

题目： 由玻尔氢原子理论计算出巴尔末系第一条谱线的波长

关键： En=13.6n2eVE_n=\frac{13.6}{n^2}eVEn​=n213.6​eV

解：
由巴尔末系的k=2,得：hν=E3−E2=−13.632−(−13.622)⇒ν=4.5584×1014s−1⇒λ=cν=6581A˙由巴尔末系的k=2, 得：\\ \qquad h\nu = E_3-E_2 = \frac{-13.6}{3^2}-(\frac{-13.6}{2^2}) \\ \Rightarrow \nu = 4.5584 \times10^{14}s^{-1}\\ \Rightarrow\lambda = \frac{c}{\nu} = 6581\dot{A} 由巴尔末系的k=2,得：hν=E3​−E2​=32−13.6​−(22−13.6​)⇒ν=4.5584×1014s−1⇒λ=νc​=6581A˙

15.5 微观粒子的波粒二象性 不确定性关系

15.5.1 物质波（德布罗意波、粒子波）

<1> 物质波的概念

​ 不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子（如电子、原子、分子等）也都具有波粒二象性

​ 德布罗意提出：一个质量为$m$，速度为v⃗\vec vv的粒子具有波动性，其与一个波长为$\lambda$，频率为$\nu$的波相对应。粒子性与波动性间的关系为：
{E=mc2=hνp=mv=hνc2c=hνc=hλ⟹{ν=Eh=mc2h=m0c2h1−(vc)2λ=hp=hmv=h1−(vc)2m0v(当v<<c时)⇓{ν=εh=m0c2hλ=hp=hm0v\left\{ \begin{aligned} E=&mc^2=h\nu \\ p=mv=&\frac{h\nu}{c^2}c=h\frac{\nu}{c}=\frac{h}{\lambda} \end{aligned} \right.\Longrightarrow \left\{ \begin{aligned} \nu = \frac{E}{h} = \frac{mc^2}{h}=\frac{m_0c^2}{h\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ \lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{mv} = \frac{h\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}{m_0v} \end{aligned} \right. \\ \\ (当v <<c时)\Downarrow \\ \\ \left\{ \begin{aligned} \nu = \frac{\varepsilon}{h}&=\frac{m_0c^2}{h} \\ \lambda = \frac{h}{p} &= \frac{h}{m_0v} \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧​E=p=mv=​mc2=hνc2hν​c=hcν​=λh​​⟹⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​ν=hE​=hmc2​=h1−(cv​)2​m0​c2​λ=ph​=mvh​=m0​vh1−(cv​)2​​​(当v<<c时)⇓⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​ν=hε​λ=ph​​=hm0​c2​=m0​vh​​
由ν⋅λ=m0c2h1−(vc)2⋅h1−(vc)2m0v=c2v\nu ·\lambda=\frac{m_0c^2}{h\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}· \frac{h\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}{m_0v} = \frac{c^2}{v}ν⋅λ=h1−(cv​)2​m0​c2​⋅m0​vh1−(cv​)2​​=vc2​，则关于光子与一般微观粒子的区别在于$v$的不同：

• 光子： 速度为$c$， 则ν⋅λ=c2c=c\nu·\lambda = \frac{c^2}{c}=cν⋅λ=cc2​=c
• 一般微观粒子： $v<c$，则λ⋅ν=c2v{>c≠v(粒子波)\lambda·\nu=\frac{c^2}{v}\left\{\begin{aligned} >c \\ \neq v\end{aligned}\right.(粒子波)λ⋅ν=vc2​{>c​=v​(粒子波)

<2> 物质波概念解释玻尔量子化解释

由上，我们知道对于一般微粒都有：λ=λp=hmv=h1−(vc)2m0v\lambda = \frac{\lambda}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{h\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}{m_0v}λ=pλ​=mvh​=m0​vh1−(cv​)2​​

因为电子的速度∣v⃗∣<<c|\vec v |<< c∣v∣<<c，所以可以将其波长视为λ=hmv\lambda = \frac{h}{mv}λ=mvh​，则此时结合L=mvr=nh2π⇒2πr=nhmv=nλL = mvr = n\frac{h}{2\pi} \Rightarrow 2\pi r=n\frac{h}{mv} = n\lambdaL=mvr=n2πh​⇒2πr=nmvh​=nλ，即能将驻波条件等价为$2\pi r=n\lambda$。

以上条件说明驻波处于稳定状态，不向外辐射能量，则mvr=n⋅h2π=n⋅hˉ\bf mvr = n·\frac{h}{2\pi} = n·\bar{h}mvr=n⋅2πh​=n⋅hˉ，即轨道角动量量子化条件。

以上半经典的解释不够严格，但他初步表明了：量子化条件来源于粒子的波动性

15.5.2 德布罗意波的实验验证

<1> 戴维孙-革末电子散射实验

关键思想： eU=12m0v2⇒v=2eUm0eU = \frac{1}{2}m_0v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2eU}{m_0}}eU=21​m0​v2⇒v=m0​2eU​​

此时，λ=hp=h2m0eU=12.25U(A˙)\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_0eU}} = \frac{12.25}{\sqrt{U}}(\dot A)λ=ph​=2m0​eU​h​=U​12.25​(A˙)，当$U$变化时，$\lambda$也发生变化，实验现象表明：当$\lambda$满足干涉加强条件（相消条件）时，反射电子波加强（相消）。干涉加强与减弱交替出现，IGI_GIG​呈周期性变化，从而验证了电子波的存在

<2> 其他实验验证

• G.P.汤姆逊电子衍射实验 – 证实了电子波的存在
• 约恩逊电子束的双缝干涉 – 证实了电子波的存在
• 因此，德布罗意波的实验验证都体现在电子波的存在

这些实验，都证明了一切实物粒子都具有波动性

<3> 举个栗子

题目： 计算经过电势差U1=150VU_1 = 150VU1​=150V和U2=104VU_2 = 10^4VU2​=104V加速的电子的德布罗意波波长（在$U\le 10000V$时，可以不考虑相对论效应 ）

解：
λ1=hm0v=h2m0eU=1.225Unm得λ1=0.1nm,λ2=0.0123nm\lambda_1 = \frac{h}{m_0v} = \frac{h}{\sqrt{2m_0eU}} = \frac{1.225}{\sqrt{U}}nm \\ \bf得 \qquad \lambda_1 = 0.1nm, \lambda_2 = 0.0123nm λ1​=m0​vh​=2m0​eU​h​=U​1.225​nm得λ1​=0.1nm,λ2​=0.0123nm
求解这个知识点的习题，需要记住电子的波长计算λ=h2m0eU=12.25U\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_0eU}}=\frac{12.25}{\sqrt{U}}λ=2m0​eU​h​=U​12.25​

15.5.3 物质波的统计解释

量子理论中，粒子具有波动性

但是这里的粒子波动性与经典理论中提到的波动性有本质的区别

<1> 光的双缝干涉

{亮纹处光波干涉加强I大，A2大暗纹处光波干涉减弱I小，A2小\left\{ \begin{aligned} \bf亮纹处 \quad 光波干涉加强 \quad I大，A^2大 \\ \bf暗纹处 \quad 光波干涉减弱 \quad I小，A^2小 \end{aligned} \right. {亮纹处光波干涉加强I大，A2大暗纹处光波干涉减弱I小，A2小​

<2> 电子波的双缝干涉

{照相底板亮纹处该处电子出现的几率大照相底板暗纹处该处电子出现的几率小\left\{ \begin{aligned} \bf照相底板亮纹处 \quad 该处电子出现的几率大 \\ \bf照相底板暗纹处 \quad 该处电子出现的几率小 \end{aligned} \right. {照相底板亮纹处该处电子出现的几率大照相底板暗纹处该处电子出现的几率小​

<3> 统计解释

• 电子打在屏上的位置是随机的，但大量的电子在空间分布的几率有确定的统计规律（稳定的衍射图像）
• 因此，德布罗意波是大量运动粒子在空间分布几率的统计描述

所以，德布罗意波又可以称为是粒子波、物质波、几率波

15.5.4 不确定关系

解释： 因为粒子具有波粒二象性，它的一些物理量不可能同时具有确定的物理值，所以存在着不确定关系，不确定体现在：【本节考点】

1. 位置和动量不可能同时确定

   设粒子在某时刻位置的不确定量为:$\Delta x$，动量的不确定量为:Δpx\Delta p_xΔpx​，有Δx⋅Δp≥hˉ2\bf\Delta x·\Delta p \ge \frac{\bar{h}}{2}Δx⋅Δp≥2hˉ​

2. 能量和时间不可能同时确定

   设粒子在某时刻能量的不确定量为:$\Delta E$，时间的不确定量为:$\Delta t$，则ΔE⋅Δt≥hˉ2\bf\Delta E·\Delta t \ge \frac{\bar{h}}{2}ΔE⋅Δt≥2hˉ​

回忆一下：hˉ=h2π\bar{h} = \frac{h}{2\pi}hˉ=2πh​

这节知识点的题型核心在于判断某类问题是否能用经典力学解决，不确定性判断的是波动性对于经典力学中的粒子性影响的大小，总结为下列题型：

<1> 已知位置不确定量$\Delta x$，求速度不确定量

关键：

1. 一般求速度不确定量，是为了证明原子中的电子能否看成是经典力学中的粒子，当电子的速度不确定量$\Delta v$ 与其速度大小（约为106m/s\bf 约为10^6m/s约为106m/s）数量级相近时（105∼10710^5\sim10^7105∼107），说明该电子在任意时刻都没有完全确定的位置和速度，也没有确定的轨迹，此时不能将其视为经典粒子
2. Δx⋅Δp≥hˉ2\bf\Delta x·\Delta p \ge \frac{\bar{h}}{2}Δx⋅Δp≥2hˉ​

题目： 原子的线度约为10−10m10^{-10}m10−10m，求原子中电子速度的不确定量，讨论原子中的电子能否看成经典力学中的粒子

解：
Δvx=Δpxm≥hˉ2mΔx=6.63×10−344×3.14×9.1×10−31×10−10=5.8×105(m/s)因为结果接近106,则原子中的电子不能看作为经典力学中的粒子\Delta v_x = \frac{\Delta p_x}{m} \ge \frac{\bar{h}}{2m\Delta x} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times3.14\times9.1\times10^{-31}\times10^{-10}}=5.8\times10^5(m/s) \\ \bf因为结果接近10^6,则原子中的电子不能看作为经典力学中的粒子 Δvx​=mΔpx​​≥2mΔxhˉ​=4×3.14×9.1×10−31×10−106.63×10−34​=5.8×105(m/s)因为结果接近106,则原子中的电子不能看作为经典力学中的粒子

<2> 已知不确定量$\Delta x$，加速电压$U$，判断是否可以使用经典力学

关键：
①eU0=12m0v02②Δvx≥hˉ2mΔx\bf①\quad eU_0 = \frac{1}{2}m_0v^2_0 \\ \bf② \quad \Delta v_x \ge\frac{\bar{h}}{2m\Delta{x}} ①eU0​=21​m0​v02​②Δvx​≥2mΔxhˉ​
题目： 加速电压为9×103V9\times10^3V9×103V，电子束直径为0.1×10−3m0.1\times10^{-3}m0.1×10−3m，求电子横向速度的不确定量，讨论是否可以用经典力学解决

解：
Δvx≥hˉ2mΔx=0.58(m/s)<<(v=6×107m/s)因为波动性不起实际作用，可以使用经典力学解决\Delta v_x \ge \frac{\bar{h}}{2m\Delta x} = 0.58(m/s) <<(v=6\times10^7m/s) \\ \bf因为波动性不起实际作用，可以使用经典力学解决 Δvx​≥2mΔxhˉ​=0.58(m/s)<<(v=6×107m/s)因为波动性不起实际作用，可以使用经典力学解决

<3> 已知波长$\lambda$及其不确定度$\Delta \lambda$，求位置坐标$\Delta x$的不确定量大小

关键： 由p=hλp = \frac{h}{\lambda}p=λh​可得动量的不确定量大小为：Δp=Δλλ2h\Delta p = \frac{\Delta \lambda}{\lambda ^2}hΔp=λ2Δλ​h

题目： 波长$\lambda =500nm$的光波沿$x$轴正向传播，知Δλλ=10−7\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 10^{-7}λΔλ​=10−7，求同时测定光子位置坐标的不确定量

解：
Δx≥h2Δpx=14πλ2Δλ=14×3.14500×10−910−7=0.40m\Delta x \ge \frac{h}{2\Delta p_x} = \frac{1}{4\pi}\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda} = \frac{1}{4\times3.14}\frac{500\times10^{-9}}{10^{-7}} = 0.40m Δx≥2Δpx​h​=4π1​Δλλ2​=4×3.141​10−7500×10−9​=0.40m

15.5.5 经典理论与近代理论的选择

<1> 理论层面

①： 以$c$为判据
{当v<<c用经典理论当v∼c用近代理论\left\{ \begin{aligned} &当v << c & \quad 用\bf{经典理论} \\ &当v\sim c &\quad 用\bf{近代理论} \end{aligned} \right. {​当v<<c当v∼c​用经典理论用近代理论​
②： 以$h$为判据
Δx⋅Δpx≥hˉ2{位置和动量能同时准确测定使用经典理论位置和动量不能同时准确测定使用量子论\Delta x·\Delta p_x \ge \frac{\bar{h}}{2} \quad \left\{ \begin{aligned} &位置和动量\bf{能}同时准确测定 &\quad 使用\bf{经典理论} \\ &位置和动量\bf{不能}同时准确测定 &\quad 使用\bf{量子论} \end{aligned} \right. Δx⋅Δpx​≥2hˉ​{​位置和动量能同时准确测定位置和动量不能同时准确测定​使用经典理论使用量子论​

<2> 实际问题

1. 光电效应： $v<<c$时，Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2}mv^2Ek​=21​mv2(用经典理论)
2. Compton效应： 反冲电子$v\sim c$，Ek=mc2−m0c2E_k = mc^2 -m_0c^2Ek​=mc2−m0​c2(用相对论)
3. 电子被加速[加速电压类]： Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2}mv^2Ek​=21​mv2(用经典理论)