https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula#Statement
罗德里格斯的旋转公式
这篇文章是关于罗德里格斯的旋转公式，它与相关的欧拉罗德里格斯参数和欧拉罗德里格斯公式的3D旋转不同。
在三维旋转理论中，对于给定旋转轴和旋转角度，以Olinde Rodrigues命名的罗德里格斯公式是用于在空间旋转向量的高效算法。通过扩展，它可以用于把所有轴角表达的三维向量转化为SO(3)中的旋转矩阵，S0(3)是包含所有旋转矩阵的群。换句话说，罗德里格斯公式提供了一种算法来计算从SO（3）的李代数so（3）到李群SO（3）的指数映射，而没有实际计算全矩阵指数。
定义
假设v是R3中的一个向量，并且k是一个描述旋转轴的单位向量，v根据右手规则旋转角度θ，则Rodrigues公式为
另一种说法是将轴向量作为定义旋转平面的任意两个非零向量a和b的交叉乘积a×b，并且角度θ的方向是从a向b测量的。令α表示这些向量之间的角度，两个角度θ和α不需要等同，但是它们的测量方式相同。 然后可以单位轴向量可以写为
当涉及定义平面的两个向量时，这种形式可能更有用。物理学中的一个例子是托马斯岁差，它包括由罗德里格斯公式给出的旋转，用两个非共线助推速度表示，旋转轴垂直于它们的平面。
求导
令k是定义旋转轴的单位矢量，令v是以角度θ围绕k旋转的任意向量（右手定则，图中逆时针）。
使用点乘和叉乘，向量v可以分解成与轴k平行和垂直的分量，
与k平行的分量是
称为v在k上的向量投影，垂直于k的分量为
称为k从v的向量拒绝。
矢量k×v可以看作是v⊥逆时针旋转90°左右的副本，所以它们的大小相等，但是方向是垂直的。同样，向量k×（k×v），v⊥的一个副本逆时针旋转180°到k左右，使得k×（k×v）和v⊥的大小相等，但方向相反（即它们是互为负数，因此减号）。扩展矢量三重乘积建立了平行分量和垂直分量之间的连接，参考公式为a×（b×c）=（a·c）b – （a·b）c 给定任意三个向量a，b，c。
平行于轴的分量在旋转下不会改变幅度和方向，
根据以上分析，只有垂直分量才会改变方向，但保持其大小
并且由于k和v||是平行的，所以它们的叉积是零 k×v|| = 0，因此
并且
这种旋转是正确的，因为矢量v⊥和k×v具有相同的长度，并且k×v是v⊥围绕k逆时针旋转90°。使用三角函数正弦和余弦对v⊥和k×v进行适当的缩放给出旋转的垂直分量。旋转分量的形式类似于笛卡尔基的2D平面极坐标（r，θ）中的径向向量
其中ex，ey是它们指示方向上的单位向量。
现在完整的旋转矢量是
用等式结果中的v ||rot和v⊥rot的定义代替
矩阵表示
将v和k×v表示为列矩阵，叉积可以表示为矩阵乘积
令K表示单位向量k的“叉积矩阵
矩阵方程可以表示为
对于任何向量v（实际上，K是具有这个性质的独特矩阵，它具有特征值0和±i）。
迭代右边的交叉乘积相当于乘以左边的交叉乘积矩阵，特别是
而且，由于k是单位向量，所以K具有单位2-范数。 因此矩阵语言中的上一个旋转公式是
请注意，在这个表示法中，主要术语的系数现在是1。
将v分解可以实现紧凑表达式
这里
是围绕轴k逆时针旋转角度θ的旋转矩阵，I是3×3单位矩阵。矩阵R是旋转群SO（3）的一个元素，K是李代数的一个元素，所以so(3)生成李群（注意K是负对称的，这表征了so(3)的特性）。 就矩阵指数而言，
为了理解最后的恒等式，要注意到
单参数子群的特征，即指数，并且公式与无穷小θ相匹配。
对于基于这种指数关系的替代推导，请参阅从so（3）到SO（3）的指数映射。 对于逆映射，请参见从SO（3）到so（3）的日志映射。
