一、从马尔科夫过程到Q学习

# 有一定基础的读者可以直接看第二部分

Q学习（Q-learning）算法是一种与模型无关的强化学习算法，以马尔科夫决策过程（Markov Decision Processes, MDPs）为理论基础。

标准的马尔科夫决策过程可以用一个五元组<S,A,P,R,γ> 表示，其中：

• S是一个离散有界的状态空间；
• A是一个离散的动作空间； 
• P为状态转移概率函数，表示agent在状态s下选取动作a后转移到a’的概率；
• R为回报函数，用于计算agent由当前状态 选取动作 后转移到下一状态 得到的立即回报值，由当前状态和选取的动作决定，体现了马尔科夫性的特点；
• γ是折扣因子，用于确定延迟回报与立即回报的相对比例， 越大表明延迟回报的重要程度越高。

马尔科夫决策问题的目标是找到一个策略 ，使其回报函数 的长期累积值的数学期望

 

最大。其中，策略π只和状态相关，与时间无关（静态的）。  是t时刻的环境状态，  是t时刻选择的动作。

根据Bellman最优准则，得到最优策略 对应的最优指标为：

其中， R(s,a)为r(st,at)的数学期望， 为在状态s下选取动作a后转移到下一状态状态s’的概率。由于某些环境中状态之间的转移概率P不容易获得，直接学习 是很困难的，而Q学习不需要获取转移概率P，因而可用来解决此类具有马尔科夫性的问题。

Q学习是一种与环境无关的算法，是一种基于数值迭代的动态规划方法。定义一个Q函数作为评估函数：

评估函数Q(s,a)的函数值是从状态s开始选择第一个动作a执行后获得的最大累积回报的折算值，通俗地说，Q值等于立即回报值r(s,a) 加上遵循最优策略的折算值，此时的最优策略可改写为：

该策略表达式的意义在于：如果agent用Q函数代替 函数，就可以不考虑转移概率P，只考虑当前状态s的所有可供选择的动作a，并从中选出使Q(s,a)最大的动作，即agent对当前状态的部分Q值做出多次反应，便可以选出动作序列，使全局最优化。

在Q学习中，agent由初始状态转移到目标状态的过程称为“Episode”，即“场景”。Q函数可以表示为以下的迭代形式进行Q矩阵的更新：

 

在每一步的迭代中，上式又可写为：

 

即Q矩阵(st,at)位置元素的值等于回报函数R的相应值加上折扣因子γ乘以转换到下一个状态后最大的Q值。

上述的Q学习算法可以看出，当划分的状态有限时，每一场景开始时随机选择的初始状态s在算法的指导下探索环境，最终一定可以到达目标状态s*，回报函数R(s,a)是有界的，并且动作的选择能够使每个状态映射到动作对的访问是无限频率，则整个学习过程就能够训练出来。

Q学习通过对环境的不断探索，积累历史经验，agent通过不断试错来强化自身，最终可以达到自主选择最优动作的目标，即不论出于何种状态，都可给出到达目标状态的最优选择路径，该算法中环境和动作相互影响，动作的选择影响环境状态，环境也可以通过强化回报函数 来反馈动作的优劣性，影响动作的选择。

参考文献：

[1]汪黎明.制造企业零库存管理物资调度方法研究[J].价值工程, 2019,38(23):126-129.

二、由一个广为流传的小例子了解Q学习的算法逻辑

一个由门连接的建筑物中有五个房间，如下图所示，分别用0-4号标识，将外界看作一个大房间，同样标识为5。

每个房间代表一个节点，门代表连线，可以将上图抽象为下面这样：

agent会被随机放置在任意一个房间里，然后从那个房间出发，一直走到建筑外（即5号房间为目标房间）。门是双向的，所以相邻节点间是双向箭头连接。通过门可以立即得到奖励值100，通过其他门奖励值为0。将所有箭头标注奖励值如下图：

在Q学习中，目标是达到奖励最高的状态，所以如果agent到达目标，它将永远在那里。 这种类型的目标被称为“吸收目标”。

想象一下，我们的agent是一个想象的虚拟机器人，可以通过经验学习。 agent可以从一个房间转移到另一个房间，但它没有上帝视角，也不知道哪一扇门通向外面。

按照第一部分Q学习的理论，我们把每个房间抽象为一个状态，选择进入哪号房间作为动作，把状态图和即时奖励值放到下面的奖励值表“回报矩阵R”中：（-1表示不可选择的动作，两个状态间没有连接）

现在我们将添加一个类似的矩阵“Q”给我们agent的大脑，代表了通过经验学到的东西的记忆。 矩阵Q的行表示agent的当前状态，列表示导致下一个状态的可能动作（节点之间的连线）。

agent开始什么都不知道，矩阵Q被初始化为零。 在这个例子中，为了解释简单，我们假设状态的数目是已知的（六个，0-5）。 如果我们不知道涉及多少个状态，矩阵Q可能从只有一个元素开始。 如果找到新的状态，则在矩阵Q中添加更多的列和行是一项简单的任务。

Q学习的更新规则如下：

根据这个公式，分配给矩阵Q的特定元素的值等于矩阵R中相应值加上学习参数γ乘以下一状态下所有可能动作的Q的最大值。

每一场景的探索都会为agent增加经验，Q矩阵得到更新。训练的基本思路如下图：

基于算法思想，训练Q矩阵的具体流程如下：

步骤1.初始化仓库环境和算法参数（最大训练周期数，每一场景即为一个周期，折扣因子γ，即时回报函数R和评估矩阵Q。）。

步骤2.随机选择一个初始状态s，若s=s*，则结束此场景，重新选择初始状态。

步骤3.在当前状态s的所有可能动作中随机选择一个动作a，选择每一动作的概率相等。

步骤4.当前状态s选取动作a后到达状态s’。

步骤5.使用公式对Q矩阵进行更新。

步骤6.设置下一状态为当前状态，s=s‘。若s未达到目标状态，则转步骤3。

步骤7.如果算法未达到最大训练周期数，转步骤2进入下一场景。否则结束训练，此时得到训练完毕的收敛Q矩阵。

上面的流程是给agent用来学习经验的。 每一场景都相当于一个培训课程。 在每个培训课程中, agent将探索环境 (由矩阵R表示), 接收奖励 (如果有), 直到达到目标状态。训练的目的是提高我们的agent的 “大脑”（矩阵 Q）。 场景越多，Q矩阵越优化。 在这种情况下, 如果矩阵 Q 得到了增强,四处探索时并不会在同一个房间进进出出, agent将找到最快的路线到达目标状态。

参数γ的范围为0到1（0 <= γ< 1）。 如果γ接近零，agent将倾向于只考虑立即得到奖励值。 如果γ更接近1，那么agent将会考虑更多的权重，愿意延迟得到奖励。

我们使用Python为训练agent编写代码：

import numpy as np
import random

# 初始化矩阵
Q = np.zeros((6, 6))
Q = np.matrix(Q)

# 回报矩阵R
R = np.matrix([[-1,-1,-1,-1,0,-1],[-1,-1,-1,0,-1,100],[-1,-1,-1,0,-1,-1],[-1,0,0,-1,0,-1],[0,-1,-1,0,-1,100],[-1,0,-1,-1,0,100]])

# 设立学习参数
γ = 0.8

# 训练
for i in range(2000):
    # 对每一个训练,随机选择一种状态
    state = random.randint(0, 5)
    while True:
        # 选择当前状态下的所有可能动作
        r_pos_action = []
        for action in range(6):
            if R[state, action] >= 0:
                r_pos_action.append(action)
        next_state = r_pos_action[random.randint(0, len(r_pos_action) - 1)]
        Q[state, next_state] = R[state, next_state] + γ *(Q[next_state]).max()  #更新
        state = next_state
        # 状态4位最优库存状态
        if state==5:
            break
print(Q)

运行结果为：

这个矩阵Q可以通过将所有的非零条目除以最高的数字（在这种情况下为500）来归一化（即转换为百分比）：

一旦矩阵Q足够接近收敛状态，我们知道我们的agent已经学习了任意状态到达目标状态的最佳路径。

例如：

从初始状态2开始，agent可以使用矩阵Q作为指导,从状态2开始，最大Q值表示选择进入状态3的动作。

从状态3开始，最大Q值表示有两种并列最优选择：进入状态1或4。假设我们任意选择去1。

从状态1开始，最大Q值表示选择进入状态5的动作。

因此，最优策略是2 – 3 – 1 – 5。

同时，若状态3时选择进入状态4，最优策略为2-3-4-5。

两种策略的累计回报值相等，故从状态2到5有两种最优策略。

# 例子较为简单，读者可以根据流程图和步骤解释手算以便加深印象。