1. 离散时间傅里叶变换的导出
针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。
考虑某一序列 \(x[n]\)，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 \(N_1\) 和 \(N_2\)，在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 以外，\(x[n]=0\)。下图给出了这种类型的一个信号。
由这个非周期信号可以构成一个周期序列 \(\tilde x[n]\)，使 \(x[n]\) 就是 \(\tilde x[n]\) 的一个周期。随着 \(N\) 的增大，\(x[n]\) 就在一个更长的时间间隔内与 \(\tilde x[n]\) 相一致。而当 \(N\to \infty\)，对任意有限时间值 \(n\) 而言，有 \(\tilde x[n]=x[n]\)。
现在我们来考虑一下 \(\tilde x[n]\) 的傅里叶级数表示式
\[\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n} \]
\[\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]
因为在 $ -N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 区间的一个周期上 \(\tilde x[n]=x[n]\)，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上
\[\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} \]
现定义函数
\[\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n} \]
可见这些系数 \(a_k\) 正比于 \(X(e^{j\omega})\) 的各样本值，即
\[\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0}) \]
式中，\(\omega_0=2\pi/N\) 用来记作在频域中的样本间隔。将（1） 和 （5）结合在一起，\(\tilde x[n]\) 就可以表示为
\[\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0 \]
随着 \(N\to \infty\)，\(\tilde x[n]\) 趋近于 \(x[n]\)，式（6）的极限就变成 \(x[n]\) 的表达式。再者，当 \(N\to \infty\) 时，有 \(\omega_0\to 0\)，式（6）的右边就过渡为一个积分。
右边的每一项都可以看作是高度为 \(X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\) 宽度为 \(\omega_0\) 的矩形的面积。而且，因为这个求和是在 \(N\) 个 \(\omega_0=2\pi/N\) 的间隔内完成的，所以总的积分区间总是有一个 \(2\pi\) 的宽度。式（6）和式（4）就分别变成
\[\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega} \]
\[\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}} \]
（7）式和 （8）式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 \(X(j\omega)\) 称为 \(X(t)\) 的离散时间傅里叶变换，也通常被称为频谱。
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例 1
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例 2
2. 周期信号的傅里叶变换
考虑如下信号
\[\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n} \]
其傅里叶变换是如下的冲激串
\[\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) \]
为了验证该式，必须求出其对应的反变换
\[\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega \]
注意，在任意一个长度为 \(2\pi\) 的积分区间内，在上式的和中真正包括的只有一个冲激，因此，如果所选的积分区间包含在 \(\omega_0+2\pi r\) 处的冲激，那么
\[\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n} \]
现在考虑一周期序列 \(x[n]\)，周期为 \(N\)，其傅里叶级数为
\[\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n} \]
这时，傅里叶变换就是
\[\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega – k\omega_0 – 2\pi l) \]
这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。
3. 离散时间傅里叶变换性质
为了方便，我们将 \(x[n]\) 和 \(X(e^{j\omega})\) 这一对傅里叶变换用下列符号表示
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性
\[\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})} \]
3.2. 线性
若
\[x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega}) \]
和
\[x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega}) \]
则
\[\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})} \]
3.3. 时移与频移性质
若
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
则
\[\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})} \]
\[\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})} \]
3.4. 共轭及共轭对称性
若
\[x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega}) \]
则
\[\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})} \]
共轭性质就能证明，若 \(x(t)\) 为实函数，那么 \(X(j\omega)\) 就具有共轭对称性，即
\[\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 为实]} \]
这就是说，离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。
3.5. 差分与累加
\[\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})} \]
\[\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)} \]
3.6. 时间反转
\[\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})} \]
3.7. 时域扩展
若令 是一个正整数，并且定义
\[\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases}\]
\[\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})} \]
3.8. 频域微分
\[\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} } \]
3.9. 帕斯瓦尔定理
\[\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega } \]
3.10. 卷积性质
\[\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})} \]
两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。
3.11. 相乘性质
\[\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta} \]
两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积。
4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表
5. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶型
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