离散数学–集合论

目录集合与元素全集与空集子集集合的运算集族,幂集和集合的划分

集合与元素

集合与元素:集合是元素的全体。

标记法 集合通常用大写字母表示,元素通常用小写字母表示。术语“(p)(A) 的元素”等价于“(p) 属于 (A)”,记作 (pin A)

外延公理 两个集合 (A)(B) 相等当且仅当其元素相同。如果集合 (A)(B) 相等,则记作 (A=B),否则记作 (A
e B)

集合的表示 集合有两种基本的表示方法:一是枚举元素,二是描述元素的特征性质。例如:(V = {a,e,i,o,u })(V = {x | x ext{是元音字母} })

常用的集合及其表示

符号 意义
(mathbb{N}) 全体非负整数
(mathbb{Z}) 全体整数
(mathbb{Q}) 全体有理数
(mathbb{R}) 全体实数
(mathbb{C}) 全体复数

全集与空集

全集 记号为 (U)

空集 没有元素的集合,又称“零集”,记号为 (varnothing),或者 ({ })

空集的特性

(forall A : Asubseteq varnothing Rightarrow A = varnothing)
(p(varnothing) = { varnothing })
(card(varnothing)=0)
(forall A : varnothing subseteq A ; A cup varnothing = A; A cap varnothing = varnothing; A imes varnothing = varnothing)

子集

如果集合 (A) 的每个元素都是集合 (B) 的元素,则称 (A)(B) 的一个子集。也称 (A) 包含于 (B) 或者 (B) 包含 (A) 。记作 (Asubseteq B)

集合的运算

集合的并交

属于 (A) 或者属于 (B) 的所有元素的集合,称为集合 (A)(B) 的并集,记作 (Acup B),即 (Acup B = { x:xin A ext{或} xin B })

属于 (A) 并且属于 (B) 的所有元素的集合,称为集合 (A)(B) 的交集,记作 (Acap B),即 (Acap B = { x:xin A ext{且} xin B })

集合的补

所有属于全集 (U) 但不属于 (A) 的元素构成的集合,记作 (A’) 或者 (A^c) 。即:

[A^c= { x:x in U,x
otin A }
]

相对补/差

集合 (B) 关于集合 (A) 的相对补,或称集合 (A) 与集合 (B) 的差,记作 (A-B) ,是由所有属于 (A) 但不属于 (B) 的元素构成的集合,即:

[A-B = { x:xin A, x
otin B } = A cap B^c
]

集合的基本积

对于 (n) 个不同的集合 (A_1, A_2, cdots, A_n) 它们的基本积是以下形式的任一集合:

[A_1^* cap A_2^* cap cdots cap A_n^* (A_i^* = A 或 A_i^* = A^c)
]

对称差

集合 (A)(B) 的对称差,记作 (Aoplus B) 。是所有属于 (A)(B) 但不同时属于 (A)(B) 的元素的集合。即:

[Aoplus B = { x: (x in A land x
otin B) lor (x
otin A land xin B) }
]

集族,幂集和集合的划分

集族

集合的集合称为集类或者集族。集族中的元素(集合),称为子类或子族。

幂集

对于给定的集合 (S) ,其所有可能子集的族,称为集合 (S) 的幂集。记作:(Power(S)) 。如果 (S) 为有限集,则 (Power(S)) 也是有限集。

划分

(S) 是一个非集合,(S) 的一个划分是将 (S) 剖分为一些不交叠的非空子集。即:(S) 的一个划分是 (S) 的一族非空子集 ({A_i}) 满足:

(S) 中的每个元素 (a) 属于一个 (A_i)
({A_i}) 中的集合互不相交,即对于两个不同的集合,(A_i ∩ A_j = 0)

划分中的子集叫胞腔

[partition(S) = { A | (forall x in S, exists A o x in A) land (forall A_i, forall A_j, A_i
eq A_j o A_i cap A_j = varnothing)}
]

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风君子

独自遨游何稽首 揭天掀地慰生平

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