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在上一篇文章中。我们主要介绍了在计算机中使用定点数表示数字的方式。
简单回顾一下。简单来说。用定点数表示数字时。会约定小数点的位置固定不变。整数部分和小数部分分别转换为二进制。就是定点数的结果。
但用定点数表示小数时。存在数值范围。精度范围有限的缺点。所以在计算机中。我们一般使用「浮点数」来表示小数。
这篇文章。我们就来详细看一下浮点数到底是如何表示小数的。以及浮点数的的范围和精度有多大。
什么是浮点数？
首先。我们需要理解什么是浮点数？
之前我们学习了定点数。其中「定点」指的是约定小数点位置固定不变。那浮点数的「浮点」就是指。其小数点的位置是可以是漂浮不定的。
这怎么理解呢？
其实。浮点数是采用科学计数法的方式来表示的。例如十进制小数 8.345。用科学计数法表示。可以有多种方式：
8.345=8.345*10^08.345=83.45*10^-18.345=834.5*10^-2...
看到了吗？用这种科学计数法的方式表示小数时。小数点的位置就变得「漂浮不定」了。这就是相对于定点数。浮点数名字的由来。
使用同样的规则。对于二进制数。我们也可以用科学计数法表示。也就是说把基数 10 换成 2 即可。
浮点数如何表示数字？
我们已经知道。浮点数是采用科学计数法来表示一个数字的。它的格式可以写成这样：
V=(-1)^S*M*R^E
其中各个变量的含义如下：
S：符号位。取值 0 或 1。决定一个数字的符号。0 表示正。1 表示负M：尾数。用小数表示。例如前面所看到的 8.345 * 10^0。8.345 就是尾数R：基数。表示十进制数 R 就是 10。表示二进制数 R 就是 2E：指数。用整数表示。例如前面看到的 10^-1。-1 即是指数
如果我们要在计算机中。用浮点数表示一个数字。只需要确认这几个变量即可。
假设现在我们用 32 bit 表示一个浮点数。把以上变量按照一定规则。填充到这些 bit 上就可以了：
假设我们定义如下规则来填充这些 bit：
符号位 S 占 1 bit指数 E 占 10 bit尾数 M 占 21 bit
按照这个规则。将十进制数 25.125 转换为浮点数。转换过程就是这样的（D代表十进制。B代表二进制）：
整数部分：25(D) = 11001(B)小数部分：0.125(D) = 0.001(B)用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以符号位 S = 0。尾数 M = 1.001001(B)。指数 E = 4(D) = 100(B)。
按照上面定义的规则。填充到 32 bit 上。就是这样：
浮点数的结果就出来了。是不是很简单？
但这里有个问题。我们刚才定义的规则。符号位 S 占 1 bit。指数位 E 占 10 bit。尾数 M 占 21 bit。这个规则是我们拍脑袋随便定义出来的。
如果你也想定一个新规则。例如符号位 S 占 1 bit。指数位 E 这次占 5 bit。尾数 M 占 25 bit。是否也可以？当然可以。
按这个规则来。那浮点数表示出来就是这样：
我们可以看到。指数和尾数分配的位数不同。会产生以下情况：
指数位越多。尾数位则越少。其表示的范围越大。但精度就会变差。反之。指数位越少。尾数位则越多。表示的范围越小。但精度就会变好一个数字的浮点数格式。会因为定义的规则不同。得到的结果也不同。表示的范围和精度也有差异
早期人们提出浮点数定义时。就是这样的情况。当时有很多计算机厂商。例如IBM。微软等。每个计算机厂商会定义自己的浮点数规则。不同厂商对同一个数表示出的浮点数是不一样的。
这就会导致。一个程序在不同厂商下的计算机中做浮点数运算时。需要先转换成这个厂商规定的浮点数格式。才能再计算。这也必然加重了计算的成本。
那怎么解决这个问题呢？业界迫切需要一个统一的浮点数标准。
浮点数标准
直到1985年。IEEE 组织推出了浮点数标准。就是我们经常听到的 IEEE754 浮点数标准。这个标准统一了浮点数的表示形式。并提供了 2 种浮点格式：
单精度浮点数 float：32 位。符号位 S 占 1 bit。指数 E 占 8 bit。尾数 M 占 23 bit双精度浮点数 float：64 位。符号位 S 占 1 bit。指数 E 占 11 bit。尾数 M 占 52 bit
为了使其表示的数字范围。精度最大化。浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：
尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2）。因此这个 1 可以省略不写。它是个隐藏位。这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字。双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字指数 E 是个无符号整数。表示 float 时。一共占 8 bit。所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的。所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127。这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时。一共占 11 bit。存入 E 时加上中间数 1023。这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
除了规定尾数和指数位。还做了以下规定：
指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字。按上面的规则正常计算指数 E 全 0。尾数非 0：非规格化数。尾数隐藏位不再是 1。而是 0(M = 0.xxxxx)。这样可以表示 0 和很小的数指数 E 全 1。尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）指数 E 全 1。尾数非 0：NaN(Not a Number)
标准浮点数的表示
有了这个统一的浮点数标准。我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：
整数部分：25(D) = 11001(B)小数部分：0.125(D) = 0.001(B)用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
所以 S = 0。尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1。隐藏位)。指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中。如下：
这就是标准 32 位浮点数的结果。
如果用 double 表示。和这个规则类似。指数位 E 用 11 bit 填充。尾数位 M 用 52 bit 填充即可。
浮点数为什么有精度损失？
我们再来看一下。平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想用浮点数表示 0.2。它的结果会是多少呢？
0.2 转换为二进制数的过程为。不断乘以 2。直到不存在小数为止。在这个计算过程中。得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。
0.2*2=0.4->00.4*2=0.8->00.8*2=1.6->10.6*2=1.2->10.2*2=0.4->0（发生循环）...
所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。
因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数。而计算机在表示一个数字时。宽度是有限的。无限循环的小数存储在计算机时。只能被截断。所以就会导致小数精度发生损失的情况。
浮点数的范围和精度有多大？
最后。我们再来看一下。用浮点数表示一个数字。其范围和精度能有多大？
以单精度浮点数 float 为例。它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（小数点后23个1）。而二进制 1.11111…1 ≈ 2。所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38。即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二进制数为 0.0000….1（小数点后22个0。1个1）。用十进制数表示就是 1/2^23。
用同样的方法可以算出。double 能表示的最大二进制数为 +1.111…111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308。所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。
double 的最小精度为：0.0000…1(51个0。1个1)。用十进制表示就是 1/2^52。
从这里可以看出。虽然浮点数的范围和精度也有限。但其范围和精度都已非常之大。所以在计算机中。对于小数的表示我们通常会使用浮点数来存储。
总结
这篇文章我们主要讲了数字的浮点数表示方式。总结如下：
浮点数一般用科学计数法表示把科学计数法中的变量。填充到固定 bit 中。即是浮点数的结果在浮点数提出的早期。各个计算机厂商各自制定自己的浮点数规则。导致不同厂商对于同一个数字的浮点数表示各不相同。在计算时还需要先进行转换才能进行计算后来 IEEE 组织提出了浮点数的标准。统一了浮点数的格式。并规定了单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double。从此以后各个计算机厂商统一了浮点数的格式。一直延续至今浮点数在表示小数时。由于十进制小数在转换为二进制时。存在无法精确转换的情况。而在固定 bit 的计算机中存储时会被截断。所以浮点数表示小数可能存在精度损失浮点数在表示一个数字时。其范围和精度非常大。所以我们平时使用的小数。在计算机中通常用浮点数来存储
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