几何学与物理学相关并不奇怪 —— 毕竟，空间是物理学发生的舞台。然而，实际上空间的几何结构对物理学的重要程度，以及我们宇宙的几何结构的奇特程度，远超过我们想像。
如果要说物理学与几何学之间迷人的相互作用，有一位数学家有着第一手的经验，他就是丘成桐。
曲率与引力
早在 1915 年，当阿尔伯特・爱因斯坦（Albert Einstein）提出他的广义相对论时，就初步暗示了空间不仅仅是一个物理背景。爱因斯坦构建了一个四维时空，这个时空由我们熟悉的三个空间维度和一个时间维度构成。他的理论革命性地提出，引力不是一种在时空中穿行的无形的力，而是由大质量物体造成的时空弯曲。想象一个放在蹦床上的保龄球，它会形成一个凹陷，附近的物体（如弹珠）会滚入这个凹陷。同样，广义相对论认为，恒星和行星等大质量物体会像保龄球一样弯曲时空，吸引着经过的物体。
爱因斯坦的这种将空间、时间、物质和引力统一起来的观点全新的 —— 物理学家杨振宁将其描述为一种“纯粹的创造”。然而，爱因斯坦用来描述时空曲率的数学并不是新创造的。这一思想可以追溯到 19 世纪，当时数学家卡尔・弗里德里希・高斯 (Carl Friedrich Gauss) 以及他杰出的学生伯恩哈德・黎曼 (Bernhard Riemann) 提出了从内部测量物体曲率的方法：他们不需要再参照物体所在的更大空间。这种内在的曲率概念正是爱因斯坦所需要的。
“在黎曼时代，没有人相信他的新几何学会有用，”丘成桐解释道。“但事实证明，它恰好符合爱因斯坦的目的。没有黎曼的工作，爱因斯坦可能需要更长的时间来发展广义相对论。这成为了人们研究几何学的重要原因：几何学和物理学是互相推动，共同发展的。”
真空中的引力？
当丘成桐第一次了解广义相对论时，他意识到广义相对论提出了一个有趣的理论问题：是否存在一个不包含任何物质的时空 —— 一个真空 —— 但其中仍然存在引力？我们生活的时空并不是广义相对论唯一适用的时空。爱因斯坦场方程，即描述广义相对论的方程，也允许其他解，例如一个既没有物质也没有引力的时空，在这样的时空中，什么都不会发生。但问题是，一个仍然具有曲率和引力的真空时空是否存在？“在这样的时空中，引力将因为拓扑（即空间的形状）而不是物质而存在。”丘成桐解释说。
丘成桐后来意识到，数学家尤金尼奥・卡拉比 (Eugenio Calabi) 在 20 世纪 50 年代就已经从几何学的角度提出了这个问题。卡拉比对物体几何形状的精确特征，如大小和角度，与其拓扑结构之间的相互作用感兴趣。拓扑对精细结构不敏感，只关注物体的整体轮廓。例如，一个球和一个泄了气的足球在几何上有很大不同，但它们在拓扑上是相同的，因为这两者不需要任何撕裂或切割就可以从一个物体变换成另一个物体。类似地，拓扑学认为甜甜圈和咖啡杯是等价的，因为一个可以连续变形为另一个。甜甜圈和球体的区别在于甜甜圈有一个洞。
具有给定拓扑的物体可以变形为许多不同的几何形状：球体变成泄气的足球、金字塔或立方体等。卡拉比想，具有某种拓扑的形状是否允许某种特定的几何结构。如果答案是“是”，那么在广义相对论的框架下，所产生的物体可以被视为存在引力的真空。
卡拉比的问题
你可以想象出无数种拓扑形状，但拓扑学家通常将他们的注意力限制在所谓的流形上。这些对象在近距离观察时，看起来像我们熟悉的普通“平坦”空间，即欧几里得空间。例如，球体和甜甜圈在局部看起来就像平坦的二维平面。如果你足够小，就不会注意到它们的曲率，或者它们是否有洞。你可以很容易地在平坦的纸片上绘制球体或甜甜圈的一小块。因此，这两个都是二维流形，也称为曲面。
球体和甜甜圈的另一个共同点是它们都是紧致的：你只需要有限数量的二维映射即可覆盖它们。这意味着它们的范围是有限的。给定一个甜甜圈或球体，你总能找到一个足够大的盒子来容纳它，尽管这可能是一个非常大的盒子。
但是，流形不一定必须是二维的。还有三维流形，从近距离看，它们就像是由三个垂直坐标轴组成的三维欧几里得空间。由于从数学上讲，你可以考虑任意维数的欧几里得空间（只需使用更多的坐标，而不仅仅是三个），因此也存在任意维数的流形。
卡拉比对紧致流形的几何特性特别感兴趣，特别是曲率。想象一下，如果你给一个拓扑流形（比如一个球体）赋予一个特定的几何结构（比如一个瘪了的足球），你就可以测量流形上每个点的曲率。这并不总是直观的：想象一只蚂蚁在马鞍面上爬行，当它沿着马鞍的顶部向上爬时，它会感受到向上的弯曲，而当它沿着马鞍的两侧向下爬时，它会感受到向下的弯曲。在二维流形（比如我们想象中的马鞍面）中，你可以将曲率与通过给定点的各种一维路径相关联。
同样，在更高维度中，你可以将曲率的概念与那些嵌入更大流形并包含你目标点的二维曲面联系起来。通过取这些二维曲面相关的所有曲率的平均值，可以得到所谓的里奇曲率，即你所观察的点的曲率。由于这是一个平均值，里奇曲率只反应黎曼定义的完整曲率概念的一个方面。这意味着一个流形在每个点上都可以有零里奇曲率，而不必整体上是平坦的（或者具有零黎曼曲率）。从物理学的角度来看，里奇曲率捕捉到的部分恰好是描述由物质存在引起的时空弯曲的部分。因此，具有零里奇曲率的空间对应于没有物质的空间，即真空。
但卡拉比对里奇曲率感兴趣完全是出于几何学的角度。数学家陈省身在 20 世纪 40 年代证明了这样一个事实：一个在每个点上里奇曲率都为零的流形只能具有某种特定的拓扑结构。在二维空间中，这相当于普通的甜甜圈拓扑。而在更高维度中，由零里奇曲率表示的拓扑结构则更加难以描述。数学家们指出，具有这种拓扑结构的流形具有一个特殊性质，即它们的第一陈类为零。
卡拉比将陈省身的问题反过来考虑：如果有一个紧致流形，其第一陈类为零，那么能否将其变形为一个在所有点上黎奇曲率都为零的几何形状？换句话说，卡拉比想要知道，某种特定的拓扑结构是否一定存在相应的几何形状。然而，卡拉比并不是研究一般的流形，而是专注于所谓的凯勒流形（Kähler manifolds）。这些流形处理起来更简单，因为它们偏离欧几里得空间很小，它们也被称为复流形，这意味着在绘制这些流形的映射时，角度会被保留，流形也展现出一定的局部对称性。这种对称性使得凯勒流形能够被强大的数学工具所处理，并且赋予了它们一种特殊的对称性。
丘成桐的回答
当丘成桐在 20 世纪 70 年代初开始研究这个问题时，他主要是出于对几何学的兴趣，不过，正如他告诉我们的那样，“我一直在想这个问题对物理学也会很有趣：构建一个封闭的宇宙（紧致流形），它没有物质（因为黎奇曲率为零），但仍然有引力（由于其拓扑结构导致的曲率）。但这样的结构的存在对几何学也意义重大：卡拉比的猜想为理解里奇曲率提供了一个最清晰的途径。”
起初，丘成桐像其他大多数专家一样，认为卡拉比的问题的答案是“不”。由于拓扑是一个比几何更宽泛的概念，因此仅凭拓扑就能保证如此特殊的几何类型似乎有点不可思议。“多年来，我试图证明卡拉比追求的那种流形不存在，”他说。“但无论我尝试什么，我都会遇到困难。所以我认为大自然不可能这么严重地玩弄我，我的推理肯定有问题。”
1977 年，丘成桐最终证明了卡拉比是对的。为了完整地陈述他的结果，他证明了任何第一陈类为零的紧致凯勒流形都可以被赋予零里奇曲率的几何结构。这些流形存在于所有维度中，后来被称为卡拉比-丘流形。
隐藏的维度
1982 年，丘成桐因解决了卡拉比猜想而获得菲尔兹奖，这是数学界最高的荣誉，这一突破对几何学以及其他领域产生了深远的影响。直到后来他才知道，卡拉比-丘流形正是某些物理学家一直在寻找的东西。他回忆说：“有一天（1984 年），我和妻子在圣地亚哥，眺望美丽的海洋。突然电话响了，是我的朋友安德鲁・斯特罗明格（Andrew Strominger）和加里・霍洛维茨（Gary Horowitz）打来的。他们很兴奋，因为弦论家们正在构建宇宙的模型，需要知道卡拉比-丘流形是否真的存在。我欣然告诉他们，这些流形确实存在。”
弦论试图成为一种“万物理论”，用以解释宇宙中的所有物理现象。这样的理论曾经是，现在仍然是物理学的圣杯，因为现有的两个主要理论 —— 广义相对论（描述宏观世界）和量子场论（描述亚原子尺度世界）—— 相互矛盾。弦论通过提出最小的物质和能量单位不是点状粒子，而是一根根微小的弦，从而解决了数学上的矛盾。这些弦可以振动，就像吉他弦可以振动一样，不同的振动类型对应着我们观察到的基本粒子和物理力。
在 20 世纪 80 年代初，弦论还处于起步阶段。它面临的一个主要问题是，为了理论的自洽性，它需要十个维度。粒子和力被认为来自于弦振动的所有不同方式。如果维度少于十个，那么就不足以产生所有观察到的物理现象。另一方面，如果维度超过十个，弦论可能会产生一些荒谬的结果。因此，精确的十个维度是必要的。但问题是我们为什么只能感知到其中的四个维度，即三个空间维度和一个时间维度？
弦论对这一谜题的回答是，六个额外的维度被紧紧地卷曲在一个极其微小的空间中，这个空间小到我们无法直接感知。丘成桐解释说：“在我们所观察到的四维时空中的每一个点，实际上都存在着一个微小的六维空间。”这些微小的世界太小了，以至于我们无法察觉它们的存在。那么，什么样的六维几何结构能够容纳这样一个隐藏的世界，并满足弦论的其他要求呢？答案已经很明显了：它必须是一个六维的卡拉比-丘流形。丘成桐补充道：“卡拉比-丘流形最终为弦理论提供了一个具体的几何模型。”
卡拉比-丘流形对弦论具有吸引力的一个原因是它们的紧致性：这些流形非常小，直径大约在 10-30 厘米左右，比一个电子小上万亿倍。但是还有其他原因。为了与当时的物理理解保持一致，隐藏维度的流形必须具有零里奇曲率。更重要的是，弦论假设了一种特殊的对称性，称为超对称性，这对时空几何提出了特殊要求。这些要求使得卡拉比-丘流形（具有特殊的凯勒对称性）成为弦论的绝佳候选者，尽管我们仍然不知道它们是否是维度难题的唯一可能解决方案。
弦论未来
伴随着卡拉比-丘流形的发现和其他重大进展，1984 成了弦论发展史上具有里程碑意义的一年。但故事并没有就此结束。1986 年，弦论遭受了一个小挫折，当时发现弦论需要卡拉比-丘流形的一个轻微修正版本，其里奇曲率不是零，而是非常接近零。更糟糕的是，有许多不同的六维卡拉比-丘流形可能符合弦论的要求，而且没有人能够计算出哪个是“正确”的。所有这些都某种程度上削弱了卡拉比-丘流形在物理学中的地位。然而，当人们发现成对的不同的卡拉比-丘流形可以产生具有相同物理学的理论宇宙时，另一个推动力出现了。这种流形对激发了新的兴趣，并产生了一种新的对称性概念，称为镜像对称（这个名字有些误导，因为它比名称所暗示的要复杂得多）。
镜像对称的确切物理意义仍然是一个谜，但是，正如丘成桐所说，它导致了“对卡拉比-丘流形的惊人的新理解。并激发了许多丰富的数学成果，这些成果完全是由弦论的直觉所驱动的。” 特别是，新的镜像对称概念解决了一个几何分支中几乎被遗忘的长达一个世纪的问题。我们不准备在这里讨论这个问题，只说它涉及到计算特定几何空间中的曲线的数量。镜像对称提供了获得答案需要的公式，后来丘成桐和同事们证明了其正确性。
今天，弦论仍然远未完善。有许多物理量它还无法描述。而且它还没有，目前也不能在实验室中进行测试。然而，丘成桐相信，弦论纯粹的数学一致性意味着它不会是一个误区。“数学家们已经能够证明由弦理论的物理直觉所激发的公式。弦论对数学的许多其他惊人贡献也是不可忽视的。因为弦论的存在，许多表面上不同的数学领域已经以一种平滑但完全意想不到的方式融合在一起。这意味着弦论中一定有一些真实的成分。它最终会引导出一个关于物质的基本理论吗？现在说还为时过早，但我们相信它提供的直觉中一定有一些真理。”
作者：Marianne Freiberger
翻译：K.Collider
审校：小聪
原文链接：Hidden dimensions
本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：M. Freiberger