前言
待编辑。
等价转化
已知单调性求参数的取值范围；
已知函数(f(x))在区间((a，b))内单调递增，等价转化为(f'(x)geqslant 0)在区间((a，b))内恒成立且(f'(x)=0)在区间((a，b))内不恒成立(即需要保证(f(x))不是常函数，否则不符合题意，因为常函数没有单调性)，故求得参数的取值范围后，还需要对端点值作以验证，否则会产生错误的多余的解；而学生则容易错误转化为(f'(x)>0)在区间((a，b))内恒成立，这样必然不包含区间的端点值，这样又会产生漏解；
存在单调性求参数的取值范围；
已知函数(f(x))存在单调递增区间((a，b))，等价转化为(f'(x)>0)在区间((a，b))有解或者能成立；而学生则容易错误转化为(f'(x)ge 0)在区间((a，b))内能成立或有解，这样必然会产生错误的多余的解；
已知函数在闭区间上不单调，求参数的取值范围；
例2函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5)在区间([-1，2])上不单调，则实数(a)的取值范围是_________。 ((-3，1))
由题可知(f(x))不单调，则导函数(y=f'(x))在区间((-1，2))上至少有一个变号零点，而不是在区间([-1，2])上至少有一个变号零点；
使用场景
数形之间的相互转化，
未知向已知的转化，
模型向模型的转化
复数问题实数化，
立体问题平面化，
实数问题有理数化，
视角上的转化 比如证明(ABperp CD)需要转化为(CDperp AB)，以及(V_{A-BCD}=V_{D-ABC})，即等体积法，等面积法。
维度上的转化，
抽象问题具体化
典例剖析：
例1【2018福建龙岩市高三质检】若不等式((x-a)^2+(x-lna)^2>m)对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，则实数(m)的取值范围是______________。
分析：检索自己的数学知识储备，我们能发现，不等式的左端的结构和平面内两点间的距离公式非常接近，
故我们主动联想，向两点间的距离公式的几何意义做靠拢，从而转化为求两点间的距离的最小值的平方。
解法1：表达式((x-a)^2+(x-lna)^2)的几何意义是直线(y=x)上的点((x，x))到曲线(y=lnx)上的点((a，lna))距离的平方，
如果令(f(x)=(x-a)^2+(x-lna)^2)，则由(m<f(x))对任意(xin R)，(ain (0，+infty))恒成立，
即需要我们求(f(x))的最小值；这样题目首先转化为以下的题目：
例1-2直线(y=x)上的动点为(P)，函数(y=lnx)上的动点是(Q)，求(|PQ|)的最小值。
【等价题目】直线(y=x)上的点为(P(x，x))，函数(y=lnx)上的点是(Q(a，lna))，求(sqrt{(x-a)^2+(x-lna)^2})的最小值。
设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，
切点为(P_0(x_0，y_0))，则有
(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；
从而解得(x_0=1，y_0=0，m=-1)
所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1，0))到直线(y=x)的点线距，
或者两条直线(y=x)，(y=x-1)的线线距了。
此时(|PQ|_{min}=cfrac{sqrt{2}}{2})；
由上述题目可知，(f(x)_{min}=(cfrac{sqrt{2}}{2})^2=cfrac{1}{2})，
故实数(m)的取值范围是(m<cfrac{1}{2})，即(min (-infty，cfrac{1}{2}))。
例2【2019届宝鸡市高三理科数学质量检测一第12题】设函数(f(x)=(x-a)^2+(lnx^2-2a)^2)，其中(x>0)，(ain R)，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，则实数(a)等于【】
$A.1$ $B.cfrac{1}{5}$ $C.cfrac{2}{5}$ $D.cfrac{1}{2}$
分析：由于题目告诉我们，存在(x_0)，使得(f(x_0)leq cfrac{4}{5})成立，
则需要我们求解函数(f(x))的最小值，最容易想到的就是利用导数求解函数的最小值，
这个最小值中会含有参数(a)，让其小于等于(cfrac{4}{5})，求解即可。
但是观察函数的特征，你会感觉这可能不是一个很好的选择。
那么有没有更好的选择呢，详细观察所给的函数结构特征，发现其和平面内任意两点见的距离公式很接近，
所以我们可以这样考虑：
函数(f(x))的最小值应该是点((x，lnx^2))和点((a，2a))之间的最小距离的平方，再次转化为
函数(y=g(x)=lnx^2=2lnx)上的动点((x，y))与函数(y=h(x)=2x)上的动点((m，n))之间的最小距离的平方，
从而问题转化为先求解曲线(y=2lnx)上的动点到直线(y=2x)的最小距离了。
利用平行线法，设直线(y=2x+m)与曲线相切于点((x_0，y_0))，
则有(g'(x_0)=cfrac{2}{x_0}=2)，解得(x_0=1)，
代入(y=2lnx)，得到(y_0=0)，即切点为((1，0))点，
代入(y=2x+m)，得到(m=-2)
即切线为(y=2x-2)，此时函数(f(x))的最小值，也就是曲线上的点((1，0))到直线(y=2x)的点线距的平方，
也是两条直线(y=2x)和(y=2x-2)之间的线线距的平方，其中线线距(d=cfrac{|2|}{sqrt{2^2+1^2}}=cfrac{2}{sqrt{5}})
故(d^2=cfrac{4}{5})，说明这样的(x_0)是存在的且唯一的，(x_0=1)，
那么(a)为多少?该如何求解呢？由于(a)是使得函数(f(x))取得最小值的参数，
即本题目中应该是点((1，0))在直线(y=2x)上的垂足的横坐标。
由于过点((1，0))和(y=2x)垂直的直线为(y-0=-cfrac{1}{2}(x-1))，
联立(left{egin{array}{l}{y=2x}\{y=-cfrac{1}{2}(x-1)}end{array}ight.)，解得(x=cfrac{1}{5})，
即(a=cfrac{1}{5})，故选(B)。
例3甲、乙两人约定某天晚上(7:00 sim 8:00)之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待甲即可离去，那么两个人能会面的概率是【】
$A.cfrac{1}{3}$ $B.cfrac{1}{8}$ $C.cfrac{3}{8}$ $D.cfrac{5}{9}$
分析：如右图所示，令(7:00)对应0，(8:00)对应1，设甲乙两人到达的时刻分别为(x，y)，则其相当于在区间([0，1])上取值一样，“约定甲早到应等乙半小时”即(y-xleq cfrac{1}{2})，即(x-y ge -cfrac{1}{2})，“乙早到无需等待甲即可离去”意味着(x-y>0)，那么两人会面应该满足条件(-cfrac{1}{2}leq x-y leq 0)，
即右图中的阴影部分，所以所求的概率为(P=1-cfrac{cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2} imes cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2} imes 1 imes 1}{1}=cfrac{3}{8}).
本题目的难点有以下三个：
①到底该是用一维来刻画还是用二维来刻画；两个刻画时刻的数轴的呈现方式，到底该平行还是垂直，还是斜交。
②关于时刻的转化，(7:00)对应数值(0)，(8:00)对应数值(1)，则(7:00 sim 8:00)任一时刻的到达对应区间[0，1]的任意取值。半小时对应数字(cfrac{1}{2}).
③将甲、乙两人会面的文字条件转化为数学语言，即线性不等式组。
【解后反思】①本题目通过设置两个变量(x)，(y)，将已知的文字语言转化为(x)，(y)所满足的不等式(数学语言)，进而转化为坐标平面内的点((x，y))的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型几何概型。
②若题目中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解。
练5已知点(M)在圆(C：x^2+y^2-4y+3=0)上，点(N)在曲线(y=1+lnx)上，则线段(MN)的长度的最小值为_______。
提示：曲线(y=1+lnx)的切线为(y=x)，则原问题转化为点((cos heta，2+sin heta))到直线(x-y=0)的点线距。(d_{min}=sqrt{2}-1)。
对函数式或者方程式的化简会简化思维
例4(2017(cdot)全国卷3理科第12题)【函数的零点】已知函数(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))有唯一的零点，则(a)的值为【】
$A.-cfrac{1}{2}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.1$
【法1】：分离常数法，本题目就不适宜使用此法；
由(f(x)=0)得到(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x)，分离得到(a=cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x))，
你应该能感觉到函数(h(x))若要用导数分析其单调性，那会是相当的难，故分离参数的思路一般在这个题目中，就自然舍弃了。
【法2】：由题目可知方程(f(x)=0)仅有一解，即(a(e^{x-1}+e^{-x+1})=-x^2+2x)仅有一解，
即函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))与函数(y=-x^2+2x)的图像仅有一个交点。参考图像
手工怎么作图呢，函数(y=-x^2+2x)的图像大家应该会的，故重点说(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的图像。
令函数(g(x)=y=e^x+cfrac{1}{e^x}=e^x+e^{-x})，则是偶函数，(g(0)=2)，
当(xge 0)时，(g'(x)=e^x-e^{-x})，(g'(x))单调递增，
故(g'(x)ge g'(0)=0)，则函数(g(x))在([0，+infty))上单调递增，又由偶函数可知，在((-infty，0])上单调递减，
这样我们就做出了函数(g(x)=e^x+cfrac{1}{e^x})的图像，然后将其向右平移一个单位，得到(y=e^{x-1}+e^{-x+1})的图像，
前边的系数(a)的作用有两个，其一控制张角大小，其二控制函数最低点的位置，
就像函数(y=a|x|)中的(a)的作用一样的，所以我们就能用手工做出函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的图像，
要使得函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))与函数(y=-x^2+2x)的图像仅有一个交点，
就需要函数(y=a(e^{x-1}+e^{-x+1}))的最小值(a(e^{1-1}+e^{-1+1})=2a)和函数(y=-x^2+2x)的最大值(-1^2+2 imes1=1)相等，
故(2a=1)，解得(a=cfrac{1}{2})。故选(C).
【法3】：构造函数法+函数性质法；
函数(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})=(x-1)^2+a[e^{x-1}+e^{-(x-1)}]-1)，
令(t=x-1)，则(g(t)=f(x-1)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1)，
由于(g(-t)=t^2+a(e^t+e^{-t})-1=g(t))，故(g(t))为偶函数，
由于函数(f(x))有唯一零点，则函数(g(t))也有唯一零点，
又函数(g(t))是偶函数，即函数(g(t))与(t)轴仅有一个交点，则(g(0)=0)，
代入得到(2a-1=0)，即(a=cfrac{1}{2})；故选(C).
【法4】：函数(f(x)=0Leftrightarrow) (a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})=-x^2+2x)
(e^{x-1}+e^{-(x-1)}ge 2sqrt{e^{x-1}cdot e^{-(x-1)}}=2)，当且仅当(x=1)时取到等号；
(-x^2+2x=-(x-1)^2+1leq 1)；
若(a>0)时，(a(e^{x-1}+e^{-(x-1)})ge 2a)，
要使(f(x))仅有一个零点，则必有(2a=1)，解得(a=cfrac{1}{2})；
若(a<0)，则函数(f(x))的零点不唯一，
综上，(a=cfrac{1}{2})；故选(C).
【法5】由(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))，
得到(f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)+a(e^{2-x-1}+e^{-(2-x)+1})=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))，
所以(f(2-x)=f(x))，故(x=1)是函数(f(x))图像的对称轴。
由题意可知，函数(f(x))有唯一的零点，
故只能是(x=1)，
即(f(1)=1^2-2 imes1+a(e^{1-1}+e^{-1+1})=0)，
解得(a=cfrac{1}{2})，故选(C).
【法6】我们一般这样转化，由函数(f(x))有唯一的零点，
得到方程(x^2-2x=-a(e^{x-1}+e^{-x+1}))有唯一解，注意到方程的右端，
我们可以和对勾函数做以联系，令(x-1=t)，则(x=t+1)，
故原方程就转化为((t+1)^2-2(t+1)=-a(e^t+e^{-t}))，为了便于做出图像，
还需要再代换，令(e^t=x)，则(x>0)且(t=lnx)，
这样方程就又转化为(ln^2x-1=-a(x+cfrac{1}{x}))，
在同一个坐标系中，分别做出函数(y=ln^2x-1)和(y=-a(x+cfrac{1}{x}))的图像，
<img src="http://images2015.cnblogs.com/blog/992978/201707/992978-20170708111845878-662541646.png" / >
由图像可知对勾函数前面的系数必须满足(-a=-cfrac{1}{2})，
即(a=cfrac{1}{2})，故选(C).
例12【2020届宝鸡质检1文数第12题】若过点(P(-1,m))可作曲线(f(x)=-x^3+6x^2)的三条切线，则实数(m)的取值范围是【】
$A.-19< m < 8$ $B.-20 < m < 7$ $C.m 8$ $D.m 7$
法1：从形的角度分析；用导数工具分析函数(f(x))的单调性，做出其简图，如图所示，
当点(P)在直线(x=-1)的下端[无穷远处]时，我们做不出过点(P)的三条切线，故可以排除(C)和(D)两个选项；
比较选项(A)和(B)，我们考虑(m=7)，此时点(P)位于点(B)处，若(m>7)，我们更加做不出过点(P)的三条切线，
故选(B)；
法2：从数的角度入手计算；(f'(x)=-3x^2+12x)，设经过点(P)的直线和函数(f(x))相切于点(Q(x_0，y_0))，
[不着急考虑有三条切线的问题，到时候写出切线方程，让其有三个解即可]
则(left{egin{array}{l}{k=f'(x_0))=-3x_0^2+12x_0①，斜率角度}\{y_0=-x_0^3+6x_0^2②，切点在曲线上}end{array}ight.)
又由于切线方程为(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0))，将上述条件代入得到，
(y-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(x-x_0))，又由于动点(P(-1,m))在切线上，则有
(m-(-x_0^3+6x_0^2)=(-3x_0^2+12x_0)(-1-x_0))，整理得到，(m=2x_0^3-3x_0^2-12x_0)，
[此处注意，虽说上述结果只有一个表达式，其实它可以包含切线的三个位置]
因此，函数(y=m)和函数(g(x)=2x^3-3x^2-12x)的图像应该有三个不同的交点；
由于(g'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2))，
故函数(g(x))在((-infty，-1))单调递增，在((-1，2))单调递减，在((2，+infty))单调递增，
显然(g(x)_{极大}=g(-1)=7)，(g(x)_{极小}=g(2)=-20)，
做出两个函数的简图，如图所示，
由图可知，(-20<m<7)，故选(B)。
例6【抽象问题具体化】从一堆产品(正品与次品都多于(2)件)中任取(2)件，观察正品件数和次品件数，则下列说法：
①“恰好有(1)件次品”和“恰好(2)件都是次品”是互斥事件；
②“至少有(1)件正品”和“全是次品”是对立事件；
③“至少有(1)件正品”和“至少有(1)件次品”是互斥事件但不是对立事件；
④“至少有(1)件次品”和“全是正品”是互斥事件也是对立事件；
其中正确的有【① ② ④】；
分析：假设正品有(A、B、C)三件，次品有(D、E、F)三件[具体化时，数目刚满足题意即可，越少越好]，依次得到选项中的各事件；
在选项①中，“恰好有(1)件次品”包括((A,D))，((A,E))，((A,F))，((B,D))，((B,E))，((B,F))，((C,D))，((C,E))，((C,F))共9个基本事件；“恰好(2)件都是次品”包括((D,E))，((D,F))，((E,F))共3个基本事件，这两个事件是互斥事件，故①正确；
在选项②中，“至少有(1)件正品”包括((A,B))，((A,C))，((B,C))、((A,D))，((A,E))，((A,F))，((B,D))，((B,E))，((B,F))，((C,D))，((C,E))，((C,F))共12个基本事件；“全是次品”包括((D,E))，((D,F))，((E,F))共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[(C_6^2=15)]，因此是对立事件，故①正确；
在选项③中，“至少有(1)件正品”包括((A,B))，((A,C))，((B,C))、((A,D))，((A,E))，((A,F))，((B,D))，((B,E))，((B,F))，((C,D))，((C,E))，((C,F))共12个基本事件；“至少有(1)件次品”包括((A,D))，((A,E))，((A,F))，((B,D))，((B,E))，((B,F))，((C,D))，((C,E))，((C,F))，((D,E))，((D,F))，((E,F))共12个基本事件；这两个事件并不是互斥事件，故③错误；
在选项④中，“至少有(1)件次品”包括((A,D))，((A,E))，((A,F))，((B,D))，((B,E))，((B,F))，((C,D))，((C,E))，((C,F))，((D,E))，((D,F))，((E,F))共12个基本事件；“全是正品”包括((A,B))，((A,C))，((B,C))共3个基本事件，这两个事件的交集为空集，并集为全集[(C_6^2=15)]，故④正确；
综上所述，填写① ② ④
解题策略：抽象问题具体化。
例11【宝鸡市二检文理科第12题】已知函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a
eq 1))的图像有两个公共点，则实数(a)的取值范围是【】
$A.(0，e^{frac{1}{e}})$ $B.(1，e^{frac{2}{e}})$ $C.(1，sqrt{e})$ $D.(1，e^{frac{1}{e}})$
分析：先做出如右图所示的图像，从形上分析，由于函数(f(x)=a^x)与(g(x)=log_ax(a>0且a
eq 1))互为反函数，其图像关于直线(y=x)对称，
故两条曲线相交时，直线(y=x)必然也会过他们的交点，这样我们将图形简化一下，
即要保证两条曲线有两个交点，只需要一区一直两条线有两个交点就可以了，
此时我们从形上已经不好把握了，需要转换到数的角度进行计算。
即函数(y=a^x)与函数(y=x)的图像有两个交点，也即方程(a^x=x)要有两个不同的实数根。
两边同时取自然对数，得到(lna^x=lnx)，即(xlna=lnx)，注意到图像的交点的(x
eq 0)，
故分离参数得到(lna=cfrac{lnx}{x})，
则要方程使(lna=cfrac{lnx}{x})有两个不同的根，需要函数(y=lna)和(g(x)=cfrac{lnx}{x})要有两个交点，这样又转换到形了。
以下用导数方法，判断函数(g(x)=cfrac{lnx}{x})的单调性，得到在((0，e))上单调递增，在((e，+infty))上单调递减，做出其函数图像如右图所示，
故有(0<lna<cfrac{1}{e})，即(ln1<lna<lne^{frac{1}{e}})，故(ain (1，e^{frac{1}{e}}))，选(D).
解后反思：
①、数到形，形到数，二者之间的转换在高三数学的学习中非常普遍。
②、熟练掌握函数(f(x)=cfrac{lnx}{x})，以及(g(x)=lnxpm x)，(h(x)=xcdot lnx)等的函数的图像和性质，在解题中会有不小的惊喜。
③、在分离常数时，可以分离得出(lna=cfrac{lnx}{x})，还可以分离得到(a=e^{frac{lnx}{x}})，但是明显第一种分离方式更有利于计算，此处使用了整体思想。
大小转化
例13据气象部门预报，在距离某码头正西方向(400km)处的热带风暴中心正以(20km/h)的速度向东北方向移动，距离风暴中心(300km)以内的地区为危险区，该码头处于危险区内的时间是_____小时。
[法1]：解三角形法，设风暴移动的时间为(t)小时， 半径为(300km)的(odot B)代表风暴以及殃及的范围；
则要使得码头不处于危险内，则需要(AB>300)；若(ABleqslant 300)，则此刻码头一定在危险区内；
由题可知，(AB^2=OA^2+OB^2-2 imes OA imes OB imes cos45^{circ})
即(AB^2=400^2+400t^2-2 imes20t imes400 imescfrac{sqrt{2}}{2})，
令(AB^2leqslant 300^2)，即(400^2+400t^2-2 imes20t imes400 imescfrac{sqrt{2}}{2}leqslant 300^2)，
整理得到，(400t^2-2 imes20t imes400 imescfrac{sqrt{2}}{2}+400^2-300^2leqslant 0)
先变形为(400t^2-2 imes20t imes400 imescfrac{sqrt{2}}{2}+(400+300)(400-300)leqslant 0)
再变形为(4t^2-2 imes20t imes4 imescfrac{sqrt{2}}{2}+700leqslant 0)
再变形为(t^2-2 imes20t imescfrac{sqrt{2}}{2}+175leqslant 0)
即(t^2-20sqrt{2}t+175leqslant 0)，接下来不应该考虑十字相乘法分解，应该考虑公式法。
对方程(t^2-20sqrt{2}t+175=0)而言，其求根公式为
(t=cfrac{20sqrt{2}pmsqrt{(20sqrt{2})^2-4 imes 175}}{2 imes1}=cfrac{20sqrt{2}pm 10}{2}=10sqrt{2}pm 5)
解得(10sqrt{2}-5leqslant t leqslant 10sqrt{2}+5)
即当时间(t=10sqrt{2}-5)时开始，码头进入危险区，当(t=10sqrt{2}+5)时开始，码头脱离危险区，
所以码头处于危险区的时间为(10sqrt{2}+5-(10sqrt{2}-5)=10).
解后反思：本题目的难点比较多，
①转化为解三角形模型；
②对(AB^2 leqslant 300^2)的理解；
③解不等式，十字相乘法变换为公式法；
④对(t=10sqrt{2}pm 5)的理解；
[法2]：平面几何法，将风暴理解为一个质点，将码头扩大为一个半径为(300km)的圆(odot A)，
则当风暴沿着射线(OD)运动时，码头处于危险区的距离为图中的线段(CD)，
在(Rt riangle OAE)中，容易知道(AE=200sqrt{2})，
则由相交弦定理可知，(DE^2=(300-200sqrt{2}) imes (300+200sqrt{2})=100^2)，
故(DE=100)，(CD=200)，可知风暴作用于码头的距离是(200km)，
故码头处于危险区的时间为(cfrac{200}{20}=10)小时。
动静转化
例2如果满足(angle ABC=60^{circ})，(AC=12)，(BC=k)的三角形(Delta ABC)恰有一个，那么(k)的范围是多少？
法1：从数的角度入手，由正弦定理(cfrac{k}{sinA}=cfrac{12}{sin60^{circ}})，
得到方程(k=8sqrt{3}sinA，Ain(0，cfrac{2pi}{3}))有一个解，或者两个函数图像有一个交点，数形结合求解即可。
由图可知，满足题意的三角形恰有一个，则(kin(0，12])或(k=8sqrt{3})。
【法2】：从形的角度入手，动静元素互相换位，即理解为让长度为(12)的边变化，让长度为(k)的边不变化。
如图，以点(C)为圆心画弧，当(12)小于点(C)到边(AB)的高度(k imescfrac{sqrt{3}}{2})时，
即(k imescfrac{sqrt{3}}{2}>12)时，解得(k>8sqrt{3})，此时三角形是不存在的；
当(12)等于点(C)到边(AB)的高度(k imescfrac{sqrt{3}}{2})时，
即(12=kcfrac{sqrt{3}}{2})，解得(k=8sqrt{3})，三角形是唯一的；
当(12)大于点(C)到边(AB)的高度(kcdotcfrac{sqrt{3}}{2})时，三角形是两个的，
即(12>k imes cfrac{sqrt{3}}{2})，解得(k<8sqrt{3})；
当(12)大于或等于边(BC)时，三角形是唯一的，即(0<kleqslant 12)，
综上可知，当(k=8sqrt{3})或(kin(0，12])时，满足条件的三角形恰好只有一个。
【解后反思】①动静互换，体现了思维的灵活性；②是否可以这样想，有一种从形入手分析的思路，必然就会有一种从数入手的思路与之对应。
图形转化
例2【2015(cdot)全国卷Ⅰ】在平面四边形(ABCD)中，(angle A=angle B=angle C=75^{circ})，(BC=2)，则(AB)的取值范围是___________。
分析：本题目非常特别，依据题意我们做出的图形是平面四边形，
当我们将边(AD)平行移动时，题目的已知条件都没有改变，故想到将此静态图变化为动态图，
平行移动(AD)时，我们看到了两个临界位置，即四边形变化为三角形的两个状态，
其一是四边形变化为三角形(ABF)，此时应该有(BF<AB)；
其二是四边形变化为三角形(ABE)，此时应该有(BE>AB)；
故动态的边(AB)的范围是(BF<AB<BE)，从而求解。
解答：如图所示，延长(BA)与(CD)交于(E)，过(C)做(CF//AD)交(AB)于(F)，则(BF<AB<BE)；
在等腰三角形(CFB)中，(angle FCB=30^{circ})，(CF=BC=2)，由余弦定理得到(BF=sqrt{6}-sqrt{2})；
在等腰三角形(ECB)中，(angle CEB=30^{circ})，(angle ECB=75^{circ})，(BE=CE，BC=2)，
由正弦定理得到(BE=sqrt{6}+sqrt{2})；
故(sqrt{6}-sqrt{2}<AB<sqrt{6}+sqrt{2})
解后反思引申：
1、求(CD)的取值范围；
分析：由上述的动态图可知，(0<CD<CE=BE=sqrt{6}+sqrt{2})；
2、求(AD)的取值范围；
分析：由上述的动态图可知，(0<AD<CF=BC=2)；
3、求四边形(ABCD)的周长的取值范围；
分析：四边形(ABCD)的周长介于(Delta BCF)的周长和(Delta BCE)的周长之间，
故其取值范围是((4+sqrt{6}-sqrt{2}，2(sqrt{6}+sqrt{2})+2))；
4、求四边形(ABCD)的面积的取值范围；
分析：四边形(ABCD)的面积介于(Delta BCF)的面积和(Delta BCE)的面积之间，
(S_{Delta BCF}=cfrac{1}{2} imes 2 imes 2 imes sin30^{circ}=1)；
(S_{Delta BCE}=cfrac{1}{2} imes (sqrt{6}+sqrt{2}) imes (sqrt{6}+sqrt{2}) imes sin30^{circ}=2+sqrt{3})；
故其取值范围是((1，2+sqrt{3}))；
数形转化
例6【向量的投影的几何意义】【2018西安八校联考第5题】已知(O)是坐标原点，点(A(2，1))，点(M(x，y))是平面区域(egin{cases}&yleq x\&x+yleq 1\&yge -1end{cases})内的一个动点，则(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM})的最大值是多少？
法1：利用向量的坐标运算得到，(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=2x+y)，故转化为求(2x+y)的最大值，即求(z=2x+y)的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。
法2：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点(M)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点(M)在边界上的情形；
注：图中有向线段(OB)是向量(overrightarrow{OM})在向量(overrightarrow{OA})方向上的投影，它是可正，可负，可零的；
(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=|overrightarrow{OA}|cdot |overrightarrow{OM}|cdot cos heta)，其中(|overrightarrow{OA}|)是个定值，
故只需要求(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)的最大值，而(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)的几何意义是(overrightarrow{OM})在(overrightarrow{OA})方向上的投影，
由图形可知，当点(M(x，y))位于点((2，-1))时投影(|overrightarrow{OM}|cdot cos heta)最大，故将点((2，-1))代入(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=3)。
变式题1：求(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM})的最小值是多少？
分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点(M)位于点(C)时，其内积最小，
此时将点((-1，-1))代入得到(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OM}=-3)。
变式题2：求向量(overrightarrow{OM})的投影的绝对值最小时的动点(M)的轨迹方程？
分析：当其夹角为(90^{circ})时，有向线段(OB=0)，故向量(overrightarrow{OM})的投影的绝对值最小(0)；
此时，点(M)在三角形区域内部且和直线(OA)垂直，故其轨迹为(y=-2x，(-1leqslant yleqslant 0))